本条目中,矢量标量分别用粗体斜体显示。例如,位置矢量通常用 表示;而其大小则用 来表示。四维矢量用加有标号的斜体显示。例如,。为了避免歧意,四维矢量的斜体与标号之间不会有括号。例如,表示平方;而的第二个分量。

电磁学里,平面电磁波四维频率 以公式定义为

其中, 是电磁波的频率 是朝着电磁波传播方向的单位矢量

四维频率与自己的内积永远等于零:

类似地,四维角频率 以公式定义为

其中, 是电磁波的角频率

显然地,

四维波矢 与四维角频率有密切的关系,定义为

其中, 是电磁波的波矢

在本篇文章里,闵可夫斯基度规的形式被规定为 ,这是参考了约翰·杰克森John D. Jackson)的著作《经典电动力学》中所采用的形式;并且使用了经典的张量代数以及爱因斯坦求和约定

洛伦兹变换

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给予两个惯性参考系    ;相对于参考系   ,参考系   以速度   移动。对于这两个参考系,相关的洛伦兹变换矩阵  [1]

 

其中, 洛伦兹因子 贝塔因子    分别是参考系   对于参考系   的 x-轴、y-轴、z-轴方向的相对速度     的贝塔因子。

设定一个朝着   方向传播于真空的平面电磁波,对于参考系   ,这平面电磁波以公式表达为

 
 

其中,   分别是电磁波的电场磁场   分别是其波幅  是四维波矢, 四维位置  是位置,   分别垂直于   ,而且  

那么,对于参考系   ,这平面电磁波以公式表达为

 
 

四维波矢    之间的关系为

 

经过一番运算,可以求得

 

其中,  是参考系   相对于参考系  四维速度  是参考系   相对于参考系   的速度。

在真空里,四维频率与四维波矢之间的关系为

 

所以,

 

这也是参考系   的观察者所观察到的频率。

参阅

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参考文献

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  1. ^ Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 543–548, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1