循环卷积

两个函数的循环卷积是由他们的周期延伸所来定义的。周期延伸意思是把原本的函数平移某个周期 T 的整数倍后再全部加起来，所产生的新函数。 $x(t)$ 的周期延伸可以写成

x_{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }x(t-kT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(t+kT).

两个函数 $x(t)$ 与 $h(t)$ 的循环卷积 $(x\otimes h)(t)$ 可用两种互相等价的方式来定义

{\begin{aligned}y(t)&=\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}h_{T}(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\,d\tau \quad =\quad (x_{T}*h)(t),\end{aligned}}

其中 $*$ 表示原本的（线性）卷积。

类似地，对于离散信号（数列），可以定义周期 N 的循环卷积 $(x\otimes h)[n]$ 为

{\begin{aligned}(x_{N}*h)[n]&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\cdot x_{N}[n-m]\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\left(h[m]\cdot \sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-m-kN]\right).\,\end{aligned}}

如果引入循环矩阵，那么两个长度都为 N 的离散信号（长度不一致，则可以通过补零来对齐两信号）的循环卷积则可以写成矩阵的形式。设有长度为 N 的离散信号 ${\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{0}&x_{1}&\cdots &x_{N-1}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}$ ，则由该向量构建的循环矩阵有如下形式

$\mathbf {C} _{x}={\begin{bmatrix}x_{0}&x_{N-1}&\cdots &x_{1}\\x_{1}&x_{0}&\cdots &x_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{N-1}&x_{N-2}&\cdots &x_{0}\end{bmatrix}}.$

此时，信号 ${\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{N\times 1}$ 与信号 ${\boldsymbol {y}}\in \mathbb {R} ^{N\times 1}$ 的圆周卷积可以写为

${\boldsymbol {x}}\otimes {\boldsymbol {y}}=\mathbf {C} _{\boldsymbol {x}}{\boldsymbol {y}}.$

离散信号的循环卷积可以经由循环卷积定理使用快速傅里叶变换（FFT）而有效率的计算。因此，若原本的（线性）卷积能变换成循环卷积来计算，会远比直接计算更快速。考虑到长度 $L$ 和长度 $M$ 的有限长度离散信号，做卷积之后会成为长度 $L+M-1$ 的信号，因此只要把两离散信号补上适当数目的零（zero-padding）成为 N 点信号，其中 $N\geq L+M-1\,$ ，则它们的循环卷积就与卷积相等。即可接着用 N 点 FFT 作计算。

用以上方法计算卷积时，若两个信号长度相差很多，则较短者须补上相当多的零，太不经济。而且在某些情况下，例如较短的 $h[n]$ 是一个 FIR 滤波器而较长的 $x[n]$ 是未知长度的输入（像语音）时，直接用以上方法要等所有的输入都收到后才能开始算输出信号，太不方便。这时可以把 $x[n]$ 分割成许多适当长度的区块（称为 block convolution），然后一段一段的处理。经过滤波后的段落再仔细的连接起来，借由输入或输出的重叠来处理区块连接的部分。这两种做法分别称为重叠-储存之卷积法和重叠-相加之卷积法。

参考文献

Rabiner, Lawrence R.; Gold, Bernard. Theory and application of digital signal processing. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall. 1975: pp 63–67. ISBN 0-13-914101-4. .
Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W.; Buck, John A. Discrete-time signal processing. Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. 1999. ISBN 0-13-754920-2. .

外部链接

cnx （页面存档备份，存于互联网档案馆）

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