墨卡托投影法

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墨卡托投影法(英语:Mercator projection),又称麦卡托投影法正轴等角圆柱投影,是一种等角的圆柱形地图投影法

墨卡托世界地图(1569年)
以墨卡托投影法呈现的世界地图。

本投影法得名于法兰德斯(佛兰德)出身的地理学家杰拉杜斯·墨卡托,他于1569年发表长202公分、宽124公分以此方式绘制的世界地图。在以此投影法绘制的地图上,将地球在平面展开,纬线于任何位置皆垂直相交,使世界地图可以绘制在一个长方形,地图的任一点在各种方向的长度均相等。由于可显示任两点间的正确方位,指出真实的经纬度,航海用途的海图航路图大都以此方式绘制。在该投影中线型比例尺在图中任意一点周围都保持不变,从而可以保持大陆轮廓投影后的角度和形状不变(即等角);但墨卡托投影会使面积产生变形,赤道地区变化最小,两极的变形最大,但因为在回归线之间影响很少,而这是多数航线所在区域,所以被广泛用来编制地图。

数学计算

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地图上纵向方位(图中的横轴)和纬度(图中的纵轴)的关系。

下列公式在使用墨卡托投影的地图中,从纬度φ经度λ(其中λ0本初子午线)推导为坐标系中的坐标xy

这是古德曼函数的逆推导:

 

这是古德曼函数:

 

比例尺与纬度φ正割成比例,越趋向极地φ = ±90°)面积变形越大。此外,由公式可知,极点处的y值为正负无穷大。

公式推导

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墨卡托投影是一种等角投影。

假设地球为正球形。(实际上并非为正球形,而是有扁率的,但制作小比例尺地图时误差可忽略不计。若需更精确,可插入等角纬线。)我们需要将经纬度坐标(λφ)转换为笛卡尔坐标(xy),求以赤道为基准的切柱面投影(即x = λ),并保持形状不变,故:

 
 

x = λ 可知

 
 

给出

 
 

因此,yφ的唯一函数,且可得到 ,由积分表

 

在地图中φ = 0得到y = 0,所以取C = 0.

 
以墨卡托投影法绘制的地图。

错觉

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由于墨卡托投影在高纬度过分放大,低纬度又过分缩小,因此会产生有趣的错觉。比如世界第一大岛高纬度的格陵兰澳洲看起来还大好几倍。世界第二大岛低纬度的新几内亚日本差不多大小。然而新几内亚岛面积足足是日本的2倍。

以下是实际面积(单位:平方公里)

  • 澳洲:7,692,024平方公里
  • 格陵兰:2,166,086平方公里
  • 日本:378,000平方公里
  • 新几内亚岛:786,000平方公里

参见

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参考资料

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  • Snyder, John P. Map Projections - A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395. United States Government Printing Office, Washington, D.C. 1987. 可至USGS pages下载。
  • Monmonier, Mark. Rhumb Lines and Map Wars. Chicago: The University of Chicago Press. 2004. 
  • Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3; Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books Ltd.
  • Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 4, Physics and Physical Technology, Part 3, Civil Engineering and Nautics. Taipei: Caves Books Ltd.