复化

数学中，实数域上的向量空间V的复化是在复数域上对应的向量空间V^C，就是说它有与V相同的维数，V在实数域上的基可以作为V^C在复数域上的基。

例如设V包含m×n实矩阵，则V^C包含m×n复矩阵。

不依赖于基的定义是取V和复数在实域上的张量积：

$V^{C}=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$。

复向量空间$V^{C}$有额外结构：典范复共轭运算$\phi \$。因为$V$以$v\mapsto v\otimes 1$包含在$V^{C}$内，复共轭运算可定义为$\phi (v\otimes z)=v\otimes z^{*}$。这运算常记作$w^{*}$或${\overline {w}}$。

相反地，给出复向量空间$W$，并有复共轭运算$\phi \$，$W$作为复向量空间同构于$W$的实子空间$S=\{w\in W:\phi (w)=w\}$的复化$S^{C}$。也就是说，所有带有复共轭运算的复向量空间都是实向量空间的复化。

例如$W=\mathbb {C}$有标准共轭运算$\phi (z)=z^{*}\$，那么$S=\mathbb {R}$。