威尔逊定理

定理

威尔逊定理是以英格兰数学家爱德华·华林的学生约翰·威尔逊命名的,尽管这对师生都未能给出证明。华林于1770年提出该定理,1771年由拉格朗日首次证明[1]

初等数论中,威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为质数充分必要条件。即:当且仅当为质数时:

证明

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充分性

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如果   不是质数,那么它的正因数必然包含在整数   中,因此   ,所以不可能得到  

必要性

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 是质数,取集合  , 则 构成模 乘法的缩系,即任意  ,存在  ,使得:

 

这几乎说明 中的元素恰好两两配对。仅有满足

 

的元素 是例外。

上式解得

 

 

其余两两配对,故而

 

 不是质数且大于4, 则易知有 

故而

 

推论

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可以借此推论 如下:

 

参考文献

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  1. ^ Joseph Louis Lagrange. Demonstration d'un théorème nouveau concernant les nombres premiers [某条质数新定理的证明]. Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres (Berlin). 1771, 2: 125–137 [2021-11-08]. (原始内容存档于2022-05-11) (法语).