威尔逊定理是以英格兰数学家爱德华·华林的学生约翰·威尔逊命名的,尽管这对师生都未能给出证明。华林于1770年提出该定理,1771年由拉格朗日首次证明[1]。
在初等数论中,威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为质数的充分必要条件。即:当且仅当
为质数时:
![{\displaystyle (p-1)!\ \equiv \ -1\ ({\mbox{mod}}\ p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/225ebe5f0a058fc7818cf0f5acf70cd77eed028a)
如果 不是质数,那么它的正因数必然包含在整数 中,因此 ,所以不可能得到 。
若 是质数,取集合 ,
则 构成模 乘法的缩系,即任意 ,存在 ,使得:
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这几乎说明 中的元素恰好两两配对。仅有满足
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的元素 是例外。
上式解得
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或
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其余两两配对,故而
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若 不是质数且大于4,
则易知有
故而
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可以借此推论 如下:
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