安培环路定律
安培环路定律[1](英语:Ampère's circuital law)常直接简称为“安培定律”,是由安德烈-马里·安培于1826年提出的一条静磁学基本定律。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c0/Ampere_Andre_1825.jpg/200px-Ampere_Andre_1825.jpg)
安培环路定律表明了:在真空中载流导线所载有的稳恒电流,与磁感应强度沿着环绕导线的任意闭合回路(环路,closed loop)[注 1]的路径积分(环场积),两者之间的关系为
- ;
其中,是环绕着导线的闭合回路,是磁感应强度(又称为B场),是微小线元素矢量,是磁常数,是闭合回路所围住的电流。
亦即,在真空中的稳恒电流会产生稳恒磁场,而磁感应强度B沿任意环绕载流导线的闭合路径的线积分值(环场积),等于该选取的环路(安培环路)所包围的总电流值(各个电流的代数和)乘以真空磁导率。
1861年,詹姆斯·麦克斯韦又将这方程重新推导一遍,使得符合电动力学条件,并且发表结果于论文《论物理力线》内。麦克斯韦认为,含时电场会生成磁场,假若电场含时间,则前述安培定律方程不成立,必须加以修正。经过修正后,新的方程称为麦克斯韦-安培方程,是麦克斯韦方程组中的一个方程,以积分形式表示为
- ;
右手定则
编辑载流循环所产生的磁场方向可以使用右手定则来判断。其方法为将拇指外的四根手指向手掌弯的方向视为磁场方向,则拇指所指的方向即为电流的方向。
右手定则也可以用来辨明一条电线四周磁场的方向。对于这用法,右手定则称为“安培右手定则”,或“安培定则”。如右图,安培右手定则表明,假若将右手的大拇指朝着电线的电流方向指去,再将四根手指握紧电线,则四根手指弯曲的方向为磁场的方向。
原版安培环路定律
编辑安培环路定律的历史原版形式,连结了磁场与源电流。这定律可以写成两种形式,积分形式和微分形式。根据开尔文-斯托克斯定理(即ℝ³上的斯托克斯公式),对于任意矢量 ,
- 。
所以,这两种形式是等价的。
积分形式
编辑电流 在一个曲面 上的通量,等于磁场 沿着 的边缘闭合回路 的路径积分。采用国际单位制(后面会讲述CGS单位制版本),原版安培环路定律的积分形式可以写为[2]:
- 。
请注意到这方程有些模糊之处,需要特别澄清:
- 第一,边界曲线 的正向与曲面 的侧符合右手规则。[注 1]
- 第二,(固定 ,)定理之成立与以 为边界的 的选择无关。[注 2]
安培环路定律可由毕奥-萨伐尔定律和磁场的叠加性证明(请参阅毕奥-萨伐尔定律)。在静磁学中,安培环路定律的角色与高斯定律在静电学的角色类似。当系统组态具有适当的对称性时,我们可以利用这对称性,使用安培环路定律来便利地计算磁场。例如,当计算一条直线的载流导线或一个无限长螺线管的磁场时,可以采用圆柱坐标系来匹配系统的圆柱对称性。
微分形式
编辑根据开尔文-斯托克斯定理,这方程也可以写为微分形式。只有当电场不含时间的时候,也就是说,当电场对于时间的偏微分等于零的时候,这方程才成立。采用国际单位制,这方程表示为
- 。
磁场 的旋度等于(产生该磁场的)传导电流密度 。
电流分类
编辑电流可以细分为自由电流和束缚电流,而束缚电流又可分类为磁化电流和电极化电流。以方程表示,总电流密度 是
- ;
其中, 是自由电流密度或传导电流密度, 是磁化电流密度, 是电极化电流密度。
从微观而言,所有的电流基本上是一样的。但是,由于实用原因,物理学家会将电流分类为自由电流和束缚电流,对于每一类电流有不同的处理方式。例如,束缚电流通常发生于原子尺寸。物理学家或许想要使用较简单但适用于较大尺寸状况的理论。因此,较微观的安培定律,以B场 和微观电流(包括自由电流和束缚电流)来表达的定律,有时候会被替代为等价的形式,以附属磁场(又称为H场) 和自由电流来表达的形式。后面证明段落,会有详细的关于自由电流和束缚电流的定义,与两种表述等价的证明。
自由电流
编辑通常在教科书内所提及的单独的“电流”二字,都是指的自由电流,即自由载流子(电子及阴阳离子)的定向移动。例如,通过一条导线或一个电池的电流。自由电流与后面提到的束缚电流明显不同,后者出现于可以被磁化或电极化的宏观物质里(每一种物质都会或多或少地被电极化或磁化)。
磁化电流
编辑当一个物质被磁化的时候(例如,将此物质置入外磁场),电子仍旧会束缚于它们所属的原子。但是,它们的物理行为会有所改变(会与感受到的磁场耦合),产生微观电流。将这些电流总合在一起,会有如同宏观电流一般的效应,环绕于磁化物体内部或表面。称这电流为磁化电流,是束缚电流的一部分。称磁化电流的密度为“体磁化电流密度” ,用方程定义为
- ;
电极化电流
编辑束缚电流的另外一种来源是电极化电流。感受到电场的作用,可电极化物质内的正束缚电荷和负束缚电荷会以原子距离相互分离。假设电场随着时间而变化,束缚电荷也会随着时间而移动,因而产生“电极化电流”,称其密度为“电极化电流密度” ,用方程定义为
- ;
其中, 是电极化强度。
注意到电极化强度的定义式
- ;
其中, 是“体束缚电荷密度”。
取电极化电流密度的散度:
- 。
所以,电极化电流密度与体束缚电荷密度的关系为
- 。
原版安培环路定律的不足处
编辑原版安培环路定律只适用于静磁学。在电动力学里,当物理量含时间,有些细节必须仔细检查。思考安培方程,
- ;
其中, 是B场, 是磁常数, 是总电流。
取散度于这方程,则会得到
- 。
- 。
这意味着电流密度的散度等于零:
- 。
在静磁学内,这是正确的。但是,出了静磁学范围,当电流不稳定的时候,这就不一定正确了。
举个经典例子,如图右,一个正在充电的电容器,其两片金属板会随着时间分别累积异性电荷。设定表面 的边缘为闭合回路 。应用安培定律,
- 。
在这里, 是通过任意曲面的电流,只要这曲面符合一个条件:边缘为闭合回路 。所以,这任意曲面可以是表面 ,而 是 ;或者这任意曲面可以是封闭圆柱表面减去左边表面 ,而由于通过这任意曲面的电流是 , 是 。选择不同的曲面会得到不同的答案,这在物理学里,是绝对不允许发生的事。
为了解决上述难题,安培环路定律必须加以修改延伸。应用流体力学的方法,麦克斯韦摹想磁场为电介质涡旋(vortex)大海,而位移电流即为大海内的电极化电流[3]。在他于1861年发表的论文《论物理力线》里面,麦克斯韦将位移电流项目加入了安培定律[4]。
位移电流
编辑在自由空间内,位移电流跟电场随着时间的变化率有关;而在电介质内,上述贡献仍旧存在,但另外一个重要贡献则与电介质的电极化有关。虽然电荷不能自由地运动于电介质,感受到外电场的作用,分子的束缚电荷可以做微小的运动。因此,正值和负值的束缚电荷会产生小距离的分离,造成电极化的增加,这可以用变量电极化强度 来表达。电极化强度随着时间的变化所产生的效应就是电极化电流。
位移电流密度 定义为[2]
- ;
其中, 是电位移,定义为
- ;
其中, 是电常数, 是电极化强度。
所以,位移电流密度分为两个部分:
- 。
这方程右手边的第一个项目是麦克斯韦修正项目,在任何地方都可存在,甚至在真空也可以存在。麦克斯韦修正项目并不涉及任何真实的电荷运动,但是,它描述一个含时电场的物理行为,就好像是真实的电流。第二个项目是电极化电流密度,与电介质内单独分子的极化性有关。
原本定律的延伸:麦克斯韦-安培方程
编辑将麦克斯韦修正项目加入安培方程:
- ;
或者,使用H场 和位移电流 来表达,
- 。
这就是麦克斯韦-安培方程,可以补救原本安培环路定律的限制。
假若使用B场 的麦克斯韦-安培方程,由于习惯,时常会称 项目为位移电流密度。由于增添了位移电流,麦克斯韦能够推论(正确地)光波是一种电磁波(请参阅电磁波条目)。
等价证明
编辑麦克斯韦-安培方程的等价证明 这里证明方程 - 。
等价于方程
- ,
注意到只处理微分形式,而不处理积分形式。但这已足够了。因为,根据开尔文-斯托克斯定理,微分形式等价于积分形式。
回想电位移的定义式为
- 。
还有, 的定义式为
- 。
将这两个定义式代入H场 的麦克斯韦-安培方程,
- 。
经过一番运算,可以得到
- 。
稍加整理,即可得到磁场 的麦克斯韦-安培方程
- 。
CGS单位制的安培方程
编辑采用CGS单位制,安培方程的积分形式,包括麦克斯韦修正项目,可以写为
- ;
其中, 是光速。
其微分形式可以写为
- 。
备注
编辑- ^ 在物理学上,英语 loop 和 circuit 在特殊语境下同义;在以下内文中,汉语对此术语 closed loop 的同义用词另有:环路、回路、循环、环线、回线,或是闭环、闭路。
参见
编辑注释
编辑参考文献
编辑- ^ 存档副本. [2022-04-21]. (原始内容存档于2022-04-21).
- ^ 2.0 2.1 David J Griffiths. Introduction to Electrodynamics 3rd Edition. Pearson/Addison-Wesley. 1999: 225, 321-325. ISBN 013805326X.
- ^ Daniel M. Siegel. Innovation in Maxwell's Electromagnetic Theory: Molecular Vortices, Displacement Current, and Light. Cambridge University Press. 2003: 96-98. ISBN 0521533295.
- ^ James C. Maxweel. On Physical Lines of Force (PDF). Philosophical Magazine and Journal of Science. 1961 [2009-08-08]. (原始内容存档 (PDF)于2009-06-12).
外部链接
编辑- Morgan, Kirby. 安培定律 (PDF). Project PHYSNET. [2009-08-08]. (原始内容 (PDF)存档于2006-02-21). 外部链接存在于
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(帮助) - Smith, Walter Fox. 安培定律之歌 (PDF). PhysicsSongs.org. [2009-08-08]. (原始内容存档 (PDF)于2010-10-11). 外部链接存在于
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(帮助)