在数学中,有许多对数恒等式。
对数可以用来简化计算。例如,两个数可以只通过查表和相加而得到乘积。
同底的对数和指数会彼此消去。这是因为对数和指数是互逆运算(就像乘法和除法那样)。
在计算器上计算对数时需要用到这个公式。例如,大多数计算器有ln和log10的按钮,但却没有 log 2 {\displaystyle \log _{2}} 的。要计算 log 2 ( 3 ) {\displaystyle \log _{2}(3)} ,只有计算 log 10 ( 3 ) log 10 ( 2 ) {\displaystyle {\frac {\log _{10}(3)}{\log _{10}(2)}}} [注 1]。
这个公式有许多推论:
π ( n ) {\displaystyle {\pi (n)}} 是下标 1 , … , n {\displaystyle 1,\ldots ,n} 的任意的排列。例如
下面的和/差规则对概率论中的对数化概率的计算非常有用:
注意 log b ( 0 ) {\displaystyle \log _{b}(0)\!\,} 无定义,因为没有一个数 x {\displaystyle x\!\,} 使 b x = 0 {\displaystyle b^{x}=0\!\,} 成立。
最后一个极限经常被总结为“ x {\displaystyle x} 的对数增长得比 x {\displaystyle x} 的任何次方或方根都慢”。[注 3]
为了记忆积分,可以方便的定义:
于是,
对数恒等式可以用来求大数的近似数。 假设我们要得到第44个梅森质数 2 32582657 − 1 {\displaystyle 2^{32582657}-1} 的近似值。先取对数( − 1 {\displaystyle -1} 被忽略), 2 32582657 {\displaystyle 2^{32582657}} 以10为底的对数等于 32,582,657 与 log 10 ( 2 ) {\displaystyle \log _{10}(2)} 的乘积,计算得到 9808357.09543 = 9808357 + 0.09543 {\displaystyle 9808357.09543=9808357+0.09543} 。再取指数消去对数,得到最后结果为 10 9808357 × 10 0.09543 ≈ 1.25 × 10 9808357 {\displaystyle 10^{9808357}\times 10^{0.09543}\approx 1.25\times 10^{9808357}} .
类似地,阶乘的结果可以用每项的对数之和来近似。