对称集

在数学中，若一个群G的非空子集S包含其所有元素的逆元素，则称该子集S为对称集。

具体而言：

• 对于乘法群，若非空子集S满足：

$S=S^{-1}$

其中$S^{-1}=\{x^{-1}:x\in S\}$，则称S为对称的(英语：symmetric)。

• 对于加法群，若非空子集S满足：

$S=-S$

其中$-S=\{-x:x\in S\}$，则称S为对称的。

在向量空间的情况下，若子集S相对于该向量空间的加法群结构是对称的（即满足$S=-S=\{-x:x\in S\}$），则称S为对称的。

例子

• 在实数集R中，对称集包括：
  • 形如$(-k,k)$的区间，其中$k>0$
  • 整数集Z
  • 点集$\{-1,1\}$
• 向量空间中的任意向量子空间都是对称集
• 对于群G的任意子集S，集合$SS^{-1}$和$S^{-1}S$都是对称集

参考文献

• R. Cristescu, Topological vector spaces, Noordhoff International Publishing, 1977.
• W. Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill Book Company, 1973.