换位子群

在抽象代数中，一个群的换位子群或导群，是指由这个群的所有交换子所生成的子群，记作[G,G]、G′或G⁽¹⁾ 。每个群都对应着一个确定的交换子群。在一个群G的所有正规子群中，交换子群G′是使得G对它的商群为交换群的最小子群。在某种意义上，交换子群提供了群G的可交换程度。因为从交换子的定义： $[x,y]=xyx^{-1}y^{-1}$ ，如果x与y交换，那么 $[x,y]=e$ 。一个群内可交换的元素越多，交换子就越少，交换子群也就越小。可交换群的交换子群为平凡群 $\{e\}$ 。

定义

给定一个群G，G的交换子群或导群： [G,G]、G′或G⁽¹⁾ 是G的所有交换子所生成的子群：

[G,G]=\langle g^{-1}h^{-1}gh\,|\,g,h\in G\rangle .

类似地可以定义高阶的导群。

G^{(0)}=G

G^{(n)}=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]\quad n\in \mathbf {N}

可以证明，如果存在自然数 n 使得 $G^{(n)}={e}$ ，那么G是可解群。

商群 $G/[G,G]$ 是一个阿贝尔群，叫做G的阿贝尔化子群，通常记作G^ab。G的阿贝尔化子群就是G的一阶同调群。

$[G,G]=G$ 的群叫做完美群，这是与阿贝尔群相对的概念。完美群的阿贝尔化子群是单位群{e}。

性质

$G^{\prime }$ 是 $G$ 的正规子群。
G对于自同构稳定： $\forall \phi \in Aut(G),\phi (G^{\prime })=G^{\prime }$ 。
如果H是G的子群，那么 $H^{\prime }\subseteq G^{\prime }$ 。
$\pi :G_{1}\to G_{2}$ 是一个满同态，那么 $\pi (G_{1}^{\prime })=G_{2}^{\prime }$ 。
如果H是G的正规子群，那么 $G/H$ 是交换群，当且仅当 $G^{\prime }\subseteq H$ 。
证明： $\pi _{H}:G\to G/H:a\mapsto Ha$ 是一个满同态，
所以， $G/H$ 是交换群

$\quad \Leftrightarrow \left\{e\right\}=(G/H)^{\prime }=\pi _{H}(G^{\prime })$

$\Leftrightarrow G^{\prime }\subseteq He=H$
$G^{\prime }\subseteq G^{\prime }$ ，所以 $G^{ab}=G/G^{\prime }$ 可交换。