到达域

提示：此条目的主题不是值域。

到达域（英语：Codomain），或称为陪域、余定义域、上域、终域、共变域、目标集。

$f$是一个将所有定义域$X$(红色区块)中的点$x\in X$对应到点$f(x)\in Y$的函数。搜集所有点$f(x)$的集合(黄色区块)为函数$f$的值域，$Y$(蓝色区块)为$f$的到达域。

在数学领域中，一个函数的到达域指的是至少包含所有此函数的输出值的一个集合。在函数符号$f\colon X\rightarrow Y$中，$Y$是函数$f$的到达域。

$f$的值域是$Y$的一个子集，若$f$是一个满射函数，则$f$的到达域和值域相等，反之则代表有$y\in Y$不存在于$f$的值域中，使得方程式$f(x)=y$无解。

例

例一

定义三个函数：

$f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\ f(x)=x^{2}$

$g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+},\ g(x)=x^{2}$

$h\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R} ,\ h(x)={\sqrt {x}}$

其中$\mathbb {R} _{0}^{+}=\mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}$。

1. 因为$f(x)=x^{2}$，函数$f$的输出值皆为非负数，所以$f$的值域为$\mathbb {R} _{0}^{+}$，也就是$[0,\infty )$区间。又因$\mathbb {R} _{0}^{+}\subset \mathbb {R}$，即$f$的到达域不等于值域，所以$f$不是一个满射函数。
2. 虽然$f$和$g$函数的输出值相同，但因为两者的到达域不同，因此不是相同的函数。
3. 因为$f$的到达域不等于$h$的定义域，合成函数 $h\circ f$为无效的函数。唯有合成符号右侧函数的到达域和左侧函数的定义域相同时，该合成函数才有效，例如$h\circ g$。

例二

定义$T$为介于两个线性空间的线性变换：

$T:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$

$T$也可以被表达成一个2×2的实数矩阵，代表一个从定义域$\mathbb {R} ^{2}$到到达域$\mathbb {R} ^{2}$的对应方式。 假设

$T={\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}}$

则代表把所有定义域中的点$(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ 对应到到达域中的点 $(x,x)\in \mathbb {R} ^{2}$。由于$T$的值域只搜集了所有$x=y$的点，例如点$(2,3)$不在$T$的值域中，但在$T$的到达域$\mathbb {R} ^{2}$中，因此$T$不是一个满射函数。

在此例中，2×2的矩阵在秩（rank）等于2时，为满射函数，小于2时则非。到达域和值域是否相等可做为判断矩阵是否有满秩（full rank）的依据，因为$T$的值域小于到达域，所以$T$没有满秩。

相关条目

• 定义域
• 值域
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