山边问题

山边（Yamabe）问题是微分几何的问题，得名自山边英彦。虽然山边英彦在1960年初宣称得到解答，他的证明中一个关键错误在1968年被尼尔·特鲁丁格发现，而山边英彦已在1960年底逝世。后来陆续由尼尔·特鲁丁格、蒂埃里·奥班、理查德·舍恩研究，山边问题在1984年得到完全解决。

问题

给出维数$n\geq 3$的光滑紧致流形$M$及黎曼度量$g$，是否必然存在共形于$g$的度量$g'$，使得$g'$的数量曲率为常数？换言之，$M$上是否存在光滑函数$f$，使得 $g'=e^{2f}g$有常数量曲率？

现已知道确有如此度量，证明使用了微分几何、偏微分方程、泛函分析的技巧。

非紧致情形

推广到非紧致流形上的山边问题是：在非紧致的光滑完备黎曼流形$(M,g)$，是否必然存在共形度量$g'$，使数量曲率为常数，且流形仍为完备？这问题的答案为否，Jin Zhiren发现其反例。

参考

• Lee, J.; Parker, T., The Yamabe problem, Bulletin of the American Mathematical Society, 1987, 17: 37–81 .
• Trudinger, Neil S., Remarks concerning the conformal deformation of Riemannian structures on compact manifolds, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3), 1968, 22: 265–274 [2013-09-01], MR 0240748, （原始内容存档于2012-10-27） 
• Yamabe, Hidehiko, On a deformation of Riemannian structures on compact manifolds, Osaka Journal of Mathematics, 1960, 12: 21–37 [2013-09-01], ISSN 0030-6126, MR 0125546, （原始内容存档于2016-02-03） 
• Jin, Zhiren, A counterexample to the Yamabe problem for complete noncompact manifolds, Partial differential equations (Tianjin, 1986), Lecture Notes in Math. 1306, Berlin, New York: Springer-Verlag: 93–101, 1988, MR 1032773, doi:10.1007/BFb0082927 
• 郑日新. Rick Schoen, Yamabe 問題與正質量定理 (PDF). 数学传播. 2000年12月, 24 (4): 63–67 [2013-09-01]. （原始内容存档 (PDF)于2016-03-04）.