单射
在数学里,单射函数(或称内射函数、嵌射函数[1]、一对一函数,英文称injection、injective function 或 one-to-one function)为一函数,其将不同的输入值对应到不同的函数值上。更精确地说,函数f被称为是单射的,当对每一陪域内的y,存在最多一个定义域内的x使得f(x) = y。
由从X 映射至Y 的单射函数所组成的集合标记为YX,该符号的由来为下降阶乘幂。当X 及Y 分别为具有m 个及n 个元素的有限集合时,从X 映射至Y 的单射函数数量可以以下降阶乘幂表示为nm。
定义
编辑令f 为一函数,且其定义域为一集合X,当且仅当对所有于X 内的元素a 及b,当f(a) = f(b)时,a = b,则该函数为单射函数;等价地说,当a ≠ b时,f(a) ≠ f(b)。
以逻辑符号表示如下:
依换质换位律,该叙述逻辑等价于
例子与反例
编辑- 对任一集合X,X上的恒等函数为单射的。
- 函数f : R → R,其定义为f(x) = 2x + 1,是单射的。
- 函数g : R → R,其定义为g(x) = x2,不是单射的,因为g(1) = 1 = g(−1)。但若将g的定义域限在非负实数[0,+∞)内,则g是单射的。
- 指数函数 是单射的。
- 自然对数函数 是单射的。
- 函数 ,不是单射的,因为 g(0) = g(1)。
形象化地说,当定义域和到达域都是实数集 R时,单射函数f : R → R为一绝不会与任一水平线相交超过一点的图。
单射函数为可逆函数
编辑具有左反函数的函数,必为单射。此处的条件(具有左反函数),比具有反函数弱:给定一函数f : X → Y,若存在一函数g : Y → X,使得对X内的每个元素x,
- g(f(x)) = x,
则称g为f的左反函数,而上式也就推出f为单射函数。
相反地,每个具非空定义域的单射函数f 都会有个左反函数g[2]。须注意的是,g 不一定会是f 的反函数,因为相反顺序的函数复合f ∘ g 不一定也会是Y 上的恒等函数。
事实上,要将一单射函数f : X → Y变成双射函数,只需要将其陪域Y替换成其值域J = f(X)就行了。亦即,令g : X → J,使其对所有X内的x,g(x) = f(x);如此g便为满射的了。确实,f可以分解成inclJ,Yog,其中inclJ,Y是由J到Y的内含映射。
其他性质
编辑- 若f和g皆为单射的,则f o g亦为单射的。
- 若g o f为单射的,则f为单射的(但g不必然要是)。
- f : X → Y是单射的当且仅当当给定两函数g, h : W → X会使得f o g = f o h时,则g = h。
- 若f : X → Y为单射的且A为X的子集,则f −1(f(A)) = A。
- 若f : X → Y是单射的且A和B皆为X的子集,则f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B)。
- 任一函数 h : W → Y 皆可分解为 h = f o g 其中 f 是单射而 g 是满射。此分解至多差一个自然同构, f 可以设想为从 h(W) 到 Y 的内含映射。
- 若 f : X → Y 是单射,则在基数的意义下 Y 的元素数量不少于 X。
- 若 X 与 Y 皆为有限集,则 f : X → Y 是单射当且仅当它是满射。
- 内含映射总是单射。
范畴论的观点
编辑另见
编辑参考资料
编辑- ^ injection - 嵌射;单射 (页面存档备份,存于互联网档案馆),国家教育研究院双语词汇、学术名词暨辞书信息网
- ^ Injection iff Left Inverse [单射当且仅当有左逆]. proofwiki.org. [2021-09-01]. (原始内容存档于2022-03-10) (英语).
参考文献
编辑- Bartle, Robert G., The Elements of Real Analysis 2nd, New York: John Wiley & Sons, 1976, ISBN 978-0-471-05464-1, p. 17 ff.
- Halmos, Paul R., Naive Set Theory, New York: Springer, 1974, ISBN 978-0-387-90092-6, p. 38 ff.
外部链接
编辑- Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.(页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Khan Academy – Surjective (onto) and Injective (one-to-one) functions: Introduction to surjective and injective functions (页面存档备份,存于互联网档案馆)