布拉维晶格

在几何学以及晶体学中，布拉维晶格（又译布拉维点阵）(Bravais lattices)是为了纪念法国物理学家奥古斯特·布拉维 (Auguste Bravais （1850）),^[1]而命名的，布拉维晶格是由一组离散平移操作生成的无限离散点阵列，在三维空间中的描述为

\mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3},

其中n_i为任意整数，a_i为原始平移矢量或原始矢量，它们位于不同的方向（不一定相互垂直），并跨越网格。对于给定的布拉维晶格，原始矢量的选择并不是唯一的。任何布拉维晶格的一个基本特征是，对于任何方向的选择，当从所选方向观察时，从每个离散晶格点所看到的晶格都是完全相同的。

布拉维晶格概念用于正式定义晶体排列及其（有限）边界。晶体由每个晶格点上的一个或多个原子（称为基点或母题motif）组成。晶基可能由原子、分子或固体物质的聚合物串组成，晶格提供了晶基的位置。

如果两个布拉维晶格具有同构空间对称群，则通常认为它们是等价的。从这个意义上讲，在2维空间中存在5种可能的布拉维晶格，在3维空间中存在14种可能的布拉维晶格。布拉维晶格的14个可能的对称群是230个空间群中的14个。在空间群分类的背景下，布拉维晶格也称为"布拉维类"、"布拉维算术类"或"布拉维聚类"(Bravais flocks)^[2]。

在3维空间

钻石立方晶格的 2×2×2 单元格

三维布拉维晶格只有14种可能。这14种布拉维晶格可分成7种晶系，每种晶系又可依中心原子在晶胞中的位置不同再分成6种晶格：

简单（P）：晶格点只在晶格的八个顶点处
体心（I）：除八个顶点处有晶格点外，晶胞中心还有一个晶格点
面心（F）：除八个顶点处有晶格点外，在六个面的中央还有一个晶格点
底心（A，B或C）：除八个顶点处有晶格点外，在晶胞的一组平行面（A，B或C）的每个面中央还有一个晶格点

7种不同晶系与每种晶系的6种不同晶格共有7 × 6 = 42种组合，但是有些组合其实是相同的，都能组成14种布拉维晶格。例如，单斜晶系的体心晶格可以通过单斜晶系的底心（C）晶格选择不同的晶轴得到，所以这两种其实是同一种；同样，所有的底心（A）、底心（B）晶格都相当于底心（C）或简单（P）晶格。因此，去除相同的组合，可以得到14种不同的布拉维晶格，列于下表（晶格图下方是代表该布拉维晶格的皮尔逊符号，表中空白的格表示于已有的晶格重复）：

晶系	点阵常数特征	14种布拉维晶格
晶系	点阵常数特征	简单（P）	底心（C）	体心（I）	面心（F）
三斜晶系	a≠b≠c，α≠β≠γ≠90°
单斜晶系	a≠b≠c，α=γ=90°≠β
斜方晶系（正交晶系）	a≠b≠c，α=β=γ=90°
四方晶系	a=b≠c，α=β=γ=90°
三方晶系（棱方晶系）	a=b=c，α=β=γ≠90°
六方晶系	a=b≠c，α=β=90º，γ=120°
等轴晶系（立方晶系）	a=b=c，α=β=γ=90°

每一个单位晶格的体积可以由 $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \times \mathbf {c}$ 计算得知。其中 $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ ,和 $\mathbf {c}$ 是晶格矢量。各种布拉维晶格的体积如下：

晶系	体积
三斜晶系	$abc{\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }}$
单斜晶系	$abc\sin \alpha$
斜方晶系	$abc$
四方晶系	$a^{2}c$
三方晶系	$a^{3}{\sqrt {1-3\cos ^{2}\alpha +2\cos ^{3}\alpha }}$
六方晶系	${\frac {{\sqrt {3\,}}\,a^{2}c}{2}}$
等轴晶系	$a^{3}$

在4维空间

在四维空间中，共有64个布拉维晶格。其中，23个是简单晶格 (primitive) ，41个是中心晶格 (centered)。有10个布拉维晶格分成"对映体对"(enantiomorphic pair)。^[3]

参见

参考文献

^ Aroyo, Mois I.; Müller, Ulrich; Wondratschek, Hans. Historical Introduction. International Tables for Crystallography. 2006, A1 (1.1): 2–5 [2008-04-21]. CiteSeerX 10.1.1.471.4170  . doi:10.1107/97809553602060000537. （原始内容存档于2013-07-04）.
^ Bravais class. Online Dictionary of Crystallography. IUCr. [8 August 2019]. （原始内容存档于2008-05-13）.
^ Brown, Harold; Bülow, Rolf; Neubüser, Joachim; Wondratschek, Hans; Zassenhaus, Hans, Crystallographic groups of four-dimensional space, New York: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], 1978, ISBN 978-0-471-03095-9, MR 0484179

外部链接

Contemporary Bravis Lattice Structures^{[永久失效链接]} Designed by Tom Barber
Catalogue of Lattices (by Nebe and Sloane)
Smith, Walter Fox. The Bravais Lattices Song. 2002.

[1] Aroyo, Mois I.; Müller, Ulrich; Wondratschek, Hans. Historical Introduction. International Tables for Crystallography. 2006, A1 (1.1): 2–5 [2008-04-21]. CiteSeerX 10.1.1.471.4170  . doi:10.1107/97809553602060000537. （原始内容存档于2013-07-04）.

[2] Bravais class. Online Dictionary of Crystallography. IUCr. [8 August 2019]. （原始内容存档于2008-05-13）.

[3] Brown, Harold; Bülow, Rolf; Neubüser, Joachim; Wondratschek, Hans; Zassenhaus, Hans, Crystallographic groups of four-dimensional space, New York: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], 1978, ISBN 978-0-471-03095-9, MR 0484179

[1]

[2]

[3]