在数论 中，布朗筛法 （Brun sieve，或布朗纯筛法 ，Brun's pure sieve）是一个用以估计满足特定条件的“筛选过的”正整数集大小的技巧，而这些条件一般都以同余 表示。这筛法由玮哥·布朗 于1915年发展，并在后来由其他学者推广为筛法基本引理 。
在筛法 的术语中，布朗筛法是一种“组合筛法”，也就是一种透过小心应用容斥原理 进行“筛选”的筛法。在正式讨论布朗筛法前，先定义一些表记：
设
A
{\displaystyle A}
P
{\displaystyle P}
A
p
{\displaystyle A_{p}}
A
{\displaystyle A}
P
{\displaystyle P}
p
{\displaystyle p}
d
{\displaystyle d}
P
{\displaystyle P}
A
d
{\displaystyle A_{d}}
A
{\displaystyle A}
d
{\displaystyle d}
d
{\displaystyle d}
p
{\displaystyle p}
A
p
{\displaystyle A_{p}}
A
1
{\displaystyle A_{1}}
A
{\displaystyle A}
设
z
{\displaystyle z}
S
(
A
,
P
,
z
)
=
|
A
∖
⋃
p
∈
P
p
≤
z
A
p
|
,
{\displaystyle S(A,P,z)={\biggl \vert }A\setminus \bigcup _{p\in P \atop p\leq z}A_{p}{\biggr \vert },}
在上式中，
|
X
|
{\displaystyle |X|}
X
{\displaystyle X}
元素个数 。
此外，假若
|
A
d
|
{\displaystyle |A_{d}|}
w
{\displaystyle w}
积性函数 ，而
R
d
{\displaystyle R_{d}}
|
A
d
|
=
w
(
d
)
d
|
A
|
+
R
d
,
{\displaystyle \left\vert A_{d}\right\vert ={\frac {w(d)}{d}}|A|+R_{d},}
那就可定义下式：
W
(
z
)
=
∏
p
∈
P
p
≤
z
(
1
−
w
(
p
)
p
)
.
{\displaystyle W(z)=\prod _{p\in P \atop p\leq z}\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right).}
布朗纯筛法
编辑
以下内容取自Cojocaru & Murty （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）的定理6.1.2.，并使用上述的表记。
若以下条件成立：
对于任意由
P
{\displaystyle P}
d
{\displaystyle d}
|
R
d
|
≤
w
(
d
)
{\displaystyle |R_{d}|\leq w(d)}
存在常数
C
,
D
,
E
{\displaystyle C,D,E}
z
{\displaystyle z}
∑
p
∈
P
p
≤
z
w
(
p
)
p
<
D
log
log
z
+
E
.
{\displaystyle \sum _{p\in P \atop p\leq z}{\frac {w(p)}{p}}<D\log \log z+E.}
对于任意
P
{\displaystyle P}
p
{\displaystyle p}
w
(
p
)
<
C
{\displaystyle w(p)<C}
则有以下的关系式：
S
(
A
,
P
,
z
)
=
X
⋅
W
(
z
)
⋅
(
1
+
O
(
(
log
z
)
−
b
log
b
)
)
+
O
(
z
b
log
log
z
)
{\displaystyle S(A,P,z)=X\cdot W(z)\cdot \left({1+O\left((\log z)^{-b\log b}\right)}\right)+O\left(z^{b\log \log z}\right)}
其中
X
{\displaystyle X}
A
{\displaystyle A}
b
{\displaystyle b}
O
{\displaystyle O}
大O符号 。
此外，设
x
{\displaystyle x}
A
{\displaystyle A}
c
{\displaystyle c}
log
z
<
c
log
x
/
log
log
x
{\displaystyle \log z<c\log x/\log \log x}
S
(
A
,
P
,
z
)
=
X
⋅
W
(
z
)
(
1
+
o
(
1
)
)
.
{\displaystyle S(A,P,z)=X\cdot W(z)(1+o(1)).}
布朗定理 ：所有孪生质数 的倒数和收敛。施尼勒尔曼密度 ：所有的偶数至多
C
{\displaystyle C}
C
{\displaystyle C}
存在有无限多个彼此差为2的整数对，而在这整数对中的两个数都至多是九个质数的乘积。
所有的偶数都可表示成两个至多是九个质数乘积的数之和。 最后两个定理弱于陈氏定理 及弱哥德巴赫猜想 。
参考资料
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Viggo Brun . Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare. Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 1915, B34 (8). Viggo Brun. La série
1
5
+
1
7
+
1
11
+
1
13
+
1
17
+
1
19
+
1
29
+
1
31
+
1
41
+
1
43
+
1
59
+
1
61
+
⋯
{\displaystyle {\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+{\tfrac {1}{13}}+{\tfrac {1}{17}}+{\tfrac {1}{19}}+{\tfrac {1}{29}}+{\tfrac {1}{31}}+{\tfrac {1}{41}}+{\tfrac {1}{43}}+{\tfrac {1}{59}}+{\tfrac {1}{61}}+\cdots }
43 : 100–104, 124–128. JFM 47.0163.01 Alina Carmen Cojocaru; M. Ram Murty. An introduction to sieve methods and their applications. London Mathematical Society Student Texts 66 . Cambridge University Press. 2005: 80–112. ISBN 0-521-61275-6 George Greaves. Sieves in number theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge) 43 . Springer-Verlag. 2001: 71–101. ISBN 3-540-41647-1 Heini Halberstam ; H.E. Richert. Sieve Methods . Academic Press . 1974. ISBN 0-12-318250-6 Christopher Hooley . Applications of sieve methods to the theory of numbers. Cambridge University Press. 1976. ISBN 0-521-20915-3 
