常用对数

以10為底的對數

标准对数,也称常用对数(英语:Common logarithm[注 1])在数学是以10底数对数函数,其逆函数是以10作基数指数函数

The graph shows that log base ten of x rapidly approaches minus infinity as x approaches zero, but gradually rises to the value two as x approaches one hundred.
由0.1到100的常用对数

底为10的对数表达式以log10(x)表示,有时以英文大写字母L表示Log(x)[注 2]。计算机的标记通常是“log”,但数学家通常区分自然对数[注 3]和常用对数。为了区分开来,ISO 80000规范建议log10(x)应写成lg (x),logₑ(x)应写成ln (x)。

数学表达

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常用对数一般表示成 ,或简写成 ,正式写法是 ;而常用对数逆函数为 

用途

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常用对数表,显示数字1000到1500的常用对数至五位小数,全表涵盖大至9999的数

常用对数可令“十变一,亿变八”(数算整数位以上的零的数目),多数用于比较并表达声音强度分贝)、酸碱值、地震规模(芮氏震级)、星等等相差层次很大的数值。常见例子是化学用的氢离子指数,定义如

 

20世纪70年代初之前还没有手持电子计算器可用,能倍增的机械计算器体积庞大,价格昂贵并不广泛使用。相反,当计算所需的精度比使用计算尺能达到的要求更高时,科学,工程和导航用的是底数为10的对数表格。使用对数避免了繁琐且容易出错的笔算乘法和分割。对数非常有用,许多教科书的附录都有底为10的对数表格。数学和导航手册也包括三角函数的对数表。

底为10的对数一个重要特性使得它们在计算中非常有用,大于1的对数相差10倍的幂,小数部分都相同,对数表只需显示小数部分,称尾数(mantissa)。常用对数表通常列出范围内各数的尾数,小数点后4至5位,如1000到9999。这范围涵盖尾数的所有可能值。

整数部分称特征(characteristic),可数算小数点必须移动多少位来计算,以便它仅在第一有效位的右侧,如120的对数由以下计算得出:

log120=log(10²×1.2)=2+log1.2≈2+0.07918。

最后数字(小数部分0.07918,或120的常用对数尾数)可在下表找到。小数点在120的位置告诉我们120的常用对数特征是2。

大于0且小于1的数字有负对数,为了避免需要另外的表格将正负对数转换回原数,有时会用小节符号表示:

 

特征上的横线表明其为负值,而尾数仍为正值,符号 读作“bar n”, 读作“bar 2 point 07918”。

以下示例用小节符号计算0.012×0.85=0.0102:

 

下表显示如何将相同的尾数用于不同10次方的数字范围:

一数乘不同10次方之常用对数、特征及尾数
数:5×10i 常用对数:logn 特征i:floor(logn) 尾数logn-特征 combined form
5000000 6.698970… 6 0.698970… 6.698970…
50 1.698970… 1 0.698970… 1.698970…
5 0.698970… 0 0.698970… 0.698970…
0.5 −0.301029… −1 0.698970… 1.698970…
0.000005 −5.301029… −6 0.698970… 6.698970…
 

尾数对所有5×10i都通用,适用于任何正实数 

对数表每条尾数可以只列一次。在5×10i的例子中,0.698970(004336018…)列在5(或0.5或500等)之下一次。

历史

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以10为底的对数对计算最常用,工程师通常简写成“ lg( x ) ”。另一方面,数学家在表示自然对数的logₑ(x)时会写成“ ln(x)”,这两种符号现今都广泛使用。

手持电子计算器由工程师而非数学家设计,遵循工程师的符号已成为惯例;记法“ln(x)”在发明电子计算器后大幅普及。

数值

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注释

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  1. ^ 或称为布里格斯对数,以纪念率先使用的英国数学家Henry Briggs命名
  2. ^ 然而这个符号是不明确的,因为它也可能意味着复数自然对数多值函数
  3. ^ 底数e≈2.71828的对数

参见

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