序数算术
我们可在序数上定义若干算术运算，这是对自然数运算的推广。
加法
编辑给出序数 S 与 T，在 {(s,0):s ∈ S} ∪ {(t,1):t ∈ T} 定义以下的良序关系：(a,δ)<(b,β) ⇔ δ<β 或 (δ=β 而 a<b)。 假设 S 与 T 不相交，这等于考虑 S ∪ T，而 S 的元素定义为小于 T 的元素。这良序集对应的序数记作 S+T，称为序数和。
序数和适合结合律，即 (S+T)+R=S+(T+R)。
第一个超穷序数是 ω，自然数集的序数。ω+ω 就像
- 0 < 1 < 2 < 3 < ... < 0' < 1' < 2' < ...
这不同于 ω。 在 ω 只有 0 没有直接前导者，而在 ω+ω 0 and 0' 都没有直接前导者。
3 + ω 就像
- 0 < 1 < 2 < 0' < 1' < 2' < ...
稍一留心，会发觉这与 ω 没有分别，是以 3 + ω = ω。而 ω + 3 就像
- 0 < 1 < 2 < 3 < ... < 0' < 1' < 2'
却是不同于 ω 原因它有个最大元。是以序数和不符交换律。
读者可试证 (ω + 4) + ω = ω + (4 + ω) = ω + ω。
乘法
编辑给出序数 S 与 T，在笛卡儿积 S × T上定义以下的良序关系：(a,δ)<(b,β) ⇔ δ<β 或 (δ=β 而 a<b)。对应的序数记作 ST，称为序数积。
序数积适合结合律，即 (ST)R=S(TR)。
序数积也不符合交换律。举例，ω2 就像:
- 00 < 10 < 20 < 30 < ... < 01 < 11 < 21 < 31 < ...
于是 ω2 = ω + ω。但 2ω 却是:
- 00 < 10 < 01 < 11 < 02 < 12 < 03 < 13 < ...
可见 2ω = ω ≠ ω2。
分配律只是部分成立。有 R(S+T) = RS + RT 但没有 (T+U)R = TR + UR：(1+1)ω=2ω = ω 但 1ω + 1ω=ω+ω。
幂
编辑给出序数 S 与 T，幂数 ST 是指 {SR : R < T}的最小上界。当然有 S0=1，S1=S，S2=S×S，S3=S×S×S，……。
第一个无限序数是 ω，第一个不能由 ω 有限引伸而成的序数是 ε0。对多数利用超穷归纳法的证明，ε0已经足够。要知道 且 。
康托尔范式
编辑任一序数 可以写成 ，当中 为正整数而 为序数。此分解称为 的康托尔范式(Cantor normal form)，可以看作是个 ω 进制的记数系统，而 叫作 的次数。一般来说， ；但若然 , 就有 , 并可得出一个只有自然数及 ωs 的表达式。
注意，给出基数 S 与 T（基数也是序数），ST 代表的序数和它代表的基数是不同的！当然，T 是自然数时例外。
最小的不可数序数记作 ω1。
参考条目
编辑引用
编辑- Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
- Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.