开尔文环流定理

(重定向自开尔文环量定理

流体动力学上,开尔文环流定理(英语:Kelvin's circulation theorem,由第一代开尔文男爵威廉·汤姆孙于1869年发表[1],因此以他命名)描述在彻体力保守正压理想流体中闭合曲线(包围相同的流体元)的环量在流体运动时并不会随时间而改变[2]。其数学描述为

其中为材料围线环流。用更简单的话来说,这条定理所指的是,若观察闭合围线并注意它一段时间(注意所有流体元的运动)的话,则始终两者间的环流相等。

本定理在有黏性应力、非保守彻体力(例如科里奥利力)或非正压的压力-密度关系的情况下并不成立。

数学证明

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材料围线 的环流  的定义为:

 

其中u为速度矢量,ds为沿着闭合围线的单元。

彻体力保守的非黏性流体的主宰方程为

 

其中D/Dt为实质导数,ρ为流体密度,p为密度,以及Φ为彻体力的势。上式为带彻体力的欧拉方程。

正压性条件意味着密度是压力的函数,且为其唯一自变量,即 

取环流的实质导数,得:

 

把主宰方程代入第一项并使用斯托克斯定理,得:

 

最后的等式是源自 ,它是正压性的结果。同时亦使用了任何函数 的梯度的旋度皆为零这一事实 

已知材料线元的时间进化由下式给出(可由实质导数的定义求得)

 

因此

 

使用交换律后再使用 。而最后的等式则使用了斯托克斯定理。

由于第一项及第二项皆为零,得

 

参见

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参考资料

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  1. ^ Sir W. Thomson. On Vortex Motion. Transactions of the Royal Society of Edinburgh. 1869, 25: 217–260. 
  2. ^ Kundu, P and Cohen, I: Fluid Mechanics, page 130. Academic Press 2002