从零开始的编号

从0开始编号或索引开头为0是一种编号方式，其指一个序列的初始元素的索引被分配为0，即序列的编号从0开始，而非从1开始。在从零开始的编号方式下，序列中初始的元素有时会被称为第零元素（一般称为第一元素）。

某些情况下，不属于该序列但可以放置在其之前的物件被称为“第零元素”。使用零作为序数并未被广泛接受，因为在缺乏上下文时，序列的所有后续元素会出现混淆。

尽管数学领域的编程语言通常从1开始编号，但从0开始编号的序列在数学符号中仍然是相当常见的，特别是在组合数学中。计算机科学中，一些现代编程语言（例如C语言）的阵列索引通常从0开始，与通常使用“第一”开始索引不同，编程人员可能会用“第零”开始。在数学中对于出现在“第一个”之前的元素，其序数形式有明确的定义时，使用从零开始的编号不会造成混淆；例如函数的第零阶导数是进行零次微分获得的，亦即函数本身。对应于不属于该序列，但以这种命名法命名在其前面的元素，或不妥当：所谓“第零阶”的导数实际并非导数。然而，正如一阶导数在二阶导数之前，因此第零阶导数（或原始函数本身）也在一阶导数之前。

编程

起源

计算机编程中列举数据从零开始编号，主要起因于提供的机器指令，根据条件判断，程式要能在指令序列之间“跳转”，这是实作分支结构的关键。可用条件以判断暂存器内容的“零”和“负”为主。最常用于实作迭代的指令譬如“递减，如果到零就跳转”。也就是说，任何可列举的数据结构都在迭代中循环处理，而是否为零的条件判断，用于控制这些循环的执行（不为零就一直在循环中）。高阶编程语言的循环结构（如do-while，repeat-until，for-step-to...）是基于这些根本的机器指令。

BCPL编程语言（C编程语言的前身）的创建者，马丁·理察德（Martin Richards）设计了阵列从0开始的索引方式，作为存取阵列开头内容的自然位置，因为表示位址的指针p值，用于存取记忆体中的p+0位址；系统分析师Mike Hoye询问Richards选用该惯例的原因。BCPL最初是用IBM 7094机器编译的；它在编译时会优化这些阵列索引提供的指针反参考运算（indirection）。

在1982年艾兹赫尔·戴克斯特拉（Edsger Wybe Dijkstra）写了个相关的说明《为什么编号应该从零开始》，将阵列索引的上下界以不等式连接，来分析各种设计方案，列举出严格和标准不等式的四种可能组合，展示了他的确信，从零开始编号的阵列不会造成索引范围重叠，是最好的表示方法，从零开始暗示与实数同样的开，半开和闭区间。偏好这惯例的细节以空序列说明，它可以用更自然的（a≤i<a？）不等式来表示，相较于用闭合“区间”的（a≤i≤(a-1)？）不等式。而且以自然的半开“区间”不等式来看，子序列的长度等于上界减去下界（a≤i<b给出(b-a)的i可能值，其中的a，b，i都是自然数）。

编程语言用法

这种设计方案嵌入在许多具影响力的编程语言中，包括C，Java和Lisp。在这三种语言中，序列类型（C阵列，Java阵列和串列，Lisp串列和向量）以数字零为下标开始索引。特别是在C语言中，阵列与指针运算紧密相关，这使得一个更简单的实现：下标的参考是从阵列起始位置的偏移，因此第一个元素的偏移量就是零。

几乎所有计算机结构，都借由位址和偏移量来表示直接引用内存，因此C语法的设计细节使编译更容易，但代价是一些人工成本。这样的情况下，使用“第零”作为序数并不是严明正确的，而是计算机业界的普遍惯例。其他编程语言如Fortran或COBOL，则有从一开始的阵列索引下标，因为它们意味着高阶编程语言，因此它们必须与通常的序数相对应。一些最近的编程语言如Lua，由于同样原因采用了相同的约定。

零是最低位的无符号整数值，是编程和硬件设计中最基本的类型之一。因此在计算机科学，零经常被当作许多种类的数值递归的基本情况。计算机科学中的证明和其他类型的数学推理通常从零这一数开始。由于这些原因，在计算机科学中，从零而非从一开始计数的方式并不少见，时有用例。

黑客和计算机科学家经常喜欢将出版品的第一章，如果其内容特重于介绍的概念，则称为“第0章”。其中一个经典的例子是在K＆R的第一版。近年来在许多纯数学家中也出现这种特征，许多构造被定义为从0开始编号。

如果用阵列表示循环，则模除(modulo)函式即可便利地获得索引，而这会导致结果为零。

数值属性

使用从零开始的编号范围表示为半开区间 $[0,n)$ ，不同于闭合区间 $[1,n]$ 。在算法中经常发生的“空”范围，很难以闭合区间[1,0]来表达。由于这个属性，从零开始的索引潜在地减少了差一和栅栏错误。但另一方面，预先扣除掉重复的计数 $n$ ，使得从 $0$ 到 $n-1$ （包含）的表达较不直觉。有些作者更偏好从 $1$ 开始的索引，因为它直接对应了该项目在其它段落中的索引。

零索引惯例的另一个特性是在现代计算机中实作的模运算。通常，模函数将任何模 $N$ 映射到 $0,1,2,\dots ,N-1$ 中的一个数字，其中 $N\geq 1$ 。因此在算法（例如计算杂凑表索引）中的许多公式，当序列从零开始索引时，使用模运算可优雅地以代码表示。如上文所提及位址/偏移量的底层逻辑，指针操作也能以零索引更优雅地表示。