恒等函数

恒等函数（英语：Identity function）是数学中对于传回和其输入值相同的函数的称呼。换句话说，恒等函数为函数$f(x)~=~x$。

定义

设M为一集合，于M上的恒等函数f被定义于一具有定义域和陪域M的函数，其对任一M内的元素x，会有$f(x)=x$的关系。

于M上的恒等函数f通常标记为$\operatorname {Id} _{m}$或${1}_{m}$。

代数性质

设f : M → N为任一函数，则会有f o id_M = f = id_N o f（其中"o"为函数复合）。特别地是，id_M会是所有由M至M的函数所组成之幺半群的单位元。

因为幺半群的单位元是唯一的，也可以反过来把M上的恒等函数定义为这个幺半群的单位元。此一定义广义化成了于范畴论中恒等态射的概念，其中M的自同态并不必然是函数。

例子

• 于正整数上的恒等函数为一数论中的完全积性函数。
• 在任意一个 n 维向量空间内，恒等函数表示成单位矩阵I_n，不论其基为何。
• 在任意一个度量空间，恒等函数很当然地为等距同构。一无任何对称的物件会有一对称群，即只包含这个恒等函数的平凡群C₁。

参见

• 内含映射