拉比周期

在物理学中，拉比周期是在振荡外场中的二能级量子体系的周期性行为。一个二能级系统具有两个可能的状态，如果状态不是简并的，当吸收一份能量以后，体系可以被激发。

这种效应在量子光学、核磁共振和量子计算中非常重要，它是以伊西多·伊萨克·拉比（Isidor Isaac Rabi）的名字命名的。

当一个原子（或者其它二能级体系）被一束相干光照射的时候，它将周期性地吸收光子并透过受激发射重新将光子发射出来，这样一个周期称为拉比周期，它的倒数称为拉比频率。

这种机制是量子光学的基础，其模型的建立可以依据杰恩斯-卡明斯模型和布洛赫矢量形式。

例如，对于频率受外部电磁场调制到激发态的二能级原子（该原子的电子可以处于激发态或者基态），利用布洛赫方程可以得到，原子处于激发态的机率为$|c_{b}(t)|^{2}=\sin(\omega t/2)^{2}\,$ ，其中$\omega \,$为拉比频率。

更一般地，可以考虑一个没有本征态的二能级体系，如果这个体系初态位于其中一个能级，时间演化将导致每个能级的态密度按照某个特征频率振荡，其角频率也称为拉比频率。

数学处理

拉比效应的数学细节请参见拉比问题。 例如，若将电磁场频率调至激发能，并于电磁场当中置入一个双态原子（该原子之电子可以处于激发态或基态），那么处于激发态原子之概率可以从Bloch方程得出：

$|c_{b}(t)|^{2}\propto \sin ^{2}(\omega t/2)$

$\omega$是拉比频率。

更一般而言，我们可以考虑一种，两个能级都不是能量本征态的系统 。因此，如果在其中一个能级对系统初始化，则时间演化将使每个能级的总粒子数以某个特征频率振荡，其角频率也称为拉比频率。 该双态量子系统的状态可以表示为二维希尔伯特空间复矢量 ，这意味着每个状态矢量 $\vert \psi \rangle$是以标准的复数坐标表示。

$|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}};$$c_{1}$和$c_{2}$是坐标。

如果矢量归一化， $c_{1}$和$c_{2}$的关联为${|c_{1}|}^{2}+{|c_{2}|}^{2}=1$ 。 基矢量表示为$|0\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$和$|1\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

所有与该系统相关的可观测物理量均为2 $\times$ 2埃尔米特矩阵 ，这表示系统的哈密顿量也是相似矩阵。

如何在量子系统中准备振荡实验

可以透过以下步骤建构振荡实验：

1. 准备系统，使之处于固定状态；例如 $|1\rangle$
2. 在哈密顿量H下，让态随时间t自由演化
3. 求出状态为$|1\rangle$的概率 P(t)

如果$|1\rangle$是H的本征态且P(t)=1 ，那么就不会产生振荡。此外，如果两个态$|0\rangle$和$|1\rangle$皆为简并态，那么包括$|1\rangle$在内的所有态皆为H的本征态。因此也不会产生振荡。

另一方面，若H无简并本征态，且初态不是本征态，则振荡将会产生。 双态系统哈密顿量的最一般形式给定如下

$\mathbf {H} ={\begin{pmatrix}a_{0}+a_{3}&a_{1}-ia_{2}\\a_{1}+ia_{2}&a_{0}-a_{3}\end{pmatrix}}$

$a_{0},a_{1},a_{2}$和$a_{3}$是实数。 这个矩阵可以分解为

$\mathbf {H} =a_{0}\cdot \sigma _{0}+a_{1}\cdot \sigma _{1}+a_{2}\cdot \sigma _{2}+a_{3}\cdot \sigma _{3};$

$\sigma _{0}$是2 $\times$ 2单位矩阵，$\sigma _{k}\;(k=1,2,3)$是泡利矩阵 。 尤其是在与时间无关的情况下，这种分解能够简化系统分析，其中$a_{0},a_{1},a_{2}$和$a_{3}$是常数。考虑置于磁场$\mathbf {B} =B\mathbf {\hat {z}}$ 之中的自旋1/2粒子。该系统的相互作用能量算符为

$\mathbf {H} =-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-\gamma \mathbf {S} \cdot \mathbf {B} =-\gamma \ B\ S_{z}$ ， $S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\,\sigma _{3}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

$\mu$是粒子磁矩的大小， $\gamma$是旋磁比 ，${\boldsymbol {\sigma }}$是泡利矩阵之矢量。此处哈密顿量之本征态是$\sigma _{3}$，而$|1\rangle$和$|2\rangle$具有对应的本征值$E_{+}={\frac {\hbar }{2}}\gamma B\,\ E_{-}=-{\frac {\hbar }{2}}\gamma B$ 。 我们可以在系统处于状态$|\psi \rangle$下，给出找到任意状态$|\phi \rangle$之概率${|\langle \phi |\psi \rangle |}^{2}$。在$t=0$的时刻，让系统处于准备状态$\left|+X\right\rangle$ 。 注意到$\left|+X\right\rangle$是$\sigma _{1}$的本征态 ：

$|\psi (0)\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

此处的哈密顿量与时间无关。 因此，透过求解平稳的薛定谔方程，在经过时间t之后，状态演变为$\left|\psi (t)\right\rangle =\exp \left[{\frac {-i\mathbf {H} t}{\hbar }}\right]\left|\psi (0)\right\rangle ={\begin{pmatrix}\exp \left[{\tfrac {-iE_{+}t}{\hbar }}\right]&0\\0&\exp \left[{\tfrac {-iE_{-}t}{\hbar }}\right]\end{pmatrix}}|\psi (0)\rangle$ ，带有系统总能量$E$ 。 因此经过时间t之后，状态成为：

$|\psi (t)\rangle =e^{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +e^{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle$

现在假设在t时刻，对x方向上的自旋进行测量。 下式给出测量到自旋向上的概率：

${\left|\langle +X|\psi (t)\rangle \right|}^{2}={\left|{\frac {\left\langle 0\right|+\left\langle 1\right|}{\sqrt {2}}}\left({{\frac {1}{\sqrt {2}}}\exp \left[{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}\right]\left|0\right\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}\exp \left[{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}\right]\left|1\right\rangle }\right)\right|}^{2}=\cos ^{2}\left({\frac {\omega t}{2}}\right),$

$\omega$是特征角频率，假设$E_{-}\geq E_{+}$的情形，给定$\omega ={\frac {E_{-}-E_{+}}{\hbar }}=\gamma B$ 。 在这种情况下，当系统最初自旋是在$\left|+X\right\rangle$方向，那么x方向发现自旋向上的概率会随著时间$t$而振荡。 同样，如果我们测量$\left|+Z\right\rangle$方向，那么所测量到的系统自旋为${\tfrac {\hbar }{2}}$之概率为${\tfrac {1}{2}}$ 。在$E_{+}=E_{-}$简并情形下 ，特征频率为0，无振荡发生。

留意到，如果系统处于给定哈密顿量的本征态，则系统将维持在该状态，保持不变。

这同样也适用于时间相依的哈密顿函数。 以${\textstyle {\hat {H}}=-\gamma \ S_{z}B\sin(\omega t)}$ 为例；如果系统的初始自旋状态为$\left|+Y\right\rangle$ ，那么在$t$时刻，自旋在y方向测量结果为$+{\tfrac {\hbar }{2}}$之概率为${\textstyle {\left|\left\langle \,+Y|\psi (t)\right\rangle \right|}^{2}\,=\cos ^{2}\left({\frac {\gamma B}{2\omega }}\cos \left({\omega t}\right)\right)}$ 。

电离氢分子两态间的拉比振荡。
电离氢分子是由两个质子$P_{1}$、$P_{2}$和一个电子所组成。由于质子质量较大，因此这两个质子可以被视为固定不动的。设R为质子之间的距离，而 $|1\rangle$和$|2\rangle$两个态的电子所处之位置，约坐落在$P_{1}$或$P_{2}$附近。假设在某一时刻，电子位于质子$P_{1}$附近。根据前一节的结果，我们知道它将在两个质子之间振荡，而振荡频率等于与两个分子定态$|E_{+}\rangle$和$|E_{-}\rangle$有关的玻尔频率。这种在两个态之间的电子振荡，对应于分子电偶极矩平均值的振荡。因此，当分子不处于定态时，就能够产生一个振荡的电偶极矩。这种振荡偶极矩可以与同频率的电磁波交换能量。因此，这个频率必须出现在电离氢分子的吸收光谱和发射光谱中。

以泡利矩阵推导非摄动过程之拉比公式

考虑以下形式的哈密顿量

${\hat {H}}=E_{0}\cdot \sigma _{0}+W_{1}\cdot \sigma _{1}+W_{2}\cdot \sigma _{2}+\Delta \cdot \sigma _{3}={\begin{pmatrix}E_{0}+\Delta &W_{1}-iW_{2}\\W_{1}+iW_{2}&E_{0}-\Delta \end{pmatrix}}.$

该矩阵的特征值为

$\lambda _{+}=E_{+}=E_{0}+{\sqrt {{\Delta }^{2}+{W_{1}}^{2}+{W_{2}}^{2}}}=E_{0}+{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}$ ，$\lambda _{-}=E_{-}=E_{0}-{\sqrt {{\Delta }^{2}+{W_{1}}^{2}+{W_{2}}^{2}}}=E_{0}-{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}$。

此处$\mathbf {W} =W_{1}+\imath W_{2}$， ${\left\vert W\right\vert }^{2}={W_{1}}^{2}+{W_{2}}^{2}=WW^{*}$。因此我们可以取 $\mathbf {W} ={\left\vert W\right\vert }e^{\imath \phi }$。

现在，由方程 :${\begin{pmatrix}E_{0}+\Delta &W_{1}-iW_{2}\\W_{1}+iW_{2}&E_{0}-\Delta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}}=E_{+}{\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}}$，我们可以得到$E_{+}$的特征矢量。

因此， $b=-{\frac {a\left(E_{0}+\Delta -E_{+}\right)}{W_{1}-iW_{2}}}$。

对特征矢量采用归一化条件${\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert b\right\vert }^{2}=1$。

因此 ${\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert a\right\vert }^{2}\left({\frac {\Delta }{\left\vert W\right\vert }}-{\frac {\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}{\left\vert W\right\vert }}\right)^{2}=1$。

令 $\sin \theta ={\frac {\left\vert W\right\vert }{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}}$，$\cos \theta ={\frac {\Delta }{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}}$。所以$\tan \theta ={\frac {\left\vert W\right\vert }{\Delta }}$。

我们得到 ${\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert a\right\vert }^{2}{\frac {({1-\cos \theta })^{2}}{\sin ^{2}\theta }}=1$，即 ${\left\vert a\right\vert }^{2}=\cos ^{2}\left({\tfrac {\theta }{2}}\right)$。取任意相角$\phi$，我们可以写下 $a=\exp(\imath \phi /2)\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)$. 同理可证，$b=\exp(-\imath \phi /2)\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)$。

所以特征值$E_{+}$之特征矢量为$\left|E_{+}\right\rangle ={\begin{pmatrix}\cos \left(\theta /2\right)\\e^{\imath \phi }\sin \left(\theta /2\right)\end{pmatrix}}$。

由于总相角较无关紧要，我们可以写下 $\left|E_{+}\right\rangle ={\begin{pmatrix}\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\\e^{\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\end{pmatrix}}=\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|0\right\rangle +e^{\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|1\right\rangle$。

类似地, 特征能量$E_{-}$之特征矢量为 $\left|E_{-}\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|0\right\rangle -e^{\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|1\right\rangle$。

从这两个方程，我们可以写出

$\left|0\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{+}\right\rangle +\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{-}\right\rangle$

$\left|1\right\rangle =e^{-\imath \phi }\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{+}\right\rangle -e^{-\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{-}\right\rangle$。

假设系统开始时在时刻 ${\textstyle t=0}$的状态是$|0\rangle$，也就是说，$\left|\psi \left(0\right)\right\rangle =\left|0\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{+}\right\rangle +\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{-}\right\rangle$。经过时间t之后，状态演变为

$\left|\psi \left(t\right)\right\rangle =e^{\frac {-i{\hat {H}}t}{\hbar }}\left|\psi \left(0\right)\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)e^{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}\left|E_{+}\right\rangle +\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)e^{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}\left|E_{-}\right\rangle$。

如果系统处于$|E_{+}\rangle$ 或 $|E_{-}\rangle$之中的某一个本征态，那么它将会维持在同一个本征态。然而，对于如上所示的一般初始状态而言，时间演化并不显然。

系统在时刻t处于状态$|1\rangle$的概率幅为 ${\textstyle \left\langle \ 1|\psi (t)\right\rangle =e^{\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {-\imath E_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {-\imath E_{-}t}{\hbar }}\right)}$。

系统当前处于$|\psi (t)\rangle$，而之后处于任意态 $|1\rangle$的概率为

${\begin{aligned}P_{0\to 1}(t)&={|\langle \ 1|\psi (t)\rangle |}^{2}\\&=e^{-\imath \phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {+\imath E_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {+\imath E_{-}t}{\hbar }}\right)e^{+\imath \phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {-\imath E_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {-\imath E_{-}t}{\hbar }}\right)\\&={\frac {\sin ^{2}{\theta }}{4}}\left(2-2\cos \left({\frac {\left(E_{+}-E_{-}\right)t}{\hbar }}\right)\right)\end{aligned}}$

这可以简化为

$P_{0\to 1}(t)=\sin ^{2}(\theta )\sin ^{2}\left({\frac {(E_{+}-E_{-})t}{2\hbar }}\right)={\frac {{\left\vert W\right\vert }^{2}}{{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {(E_{+}-E_{-})t}{2\hbar }}\right)$.........(1)

这表明， 当系统最初处于状态$|0\rangle$时，该系统最终处于状态$|1\rangle$的概率是有限的。概率是以角频率 $\omega ={\frac {E_{+}-E_{-}}{2\hbar }}={\frac {\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}{\hbar }}$振荡，而$\omega$是系统唯一的玻尔频率，又称为拉比频率。而式子(1)亦可称为拉比公式。在时间t之后，系统处于状态$|0\rangle$的概率为${|\langle \ 0|\psi (t)\rangle |}^{2}=1-\sin ^{2}(\theta )\sin ^{2}\left({\frac {(E_{+}-E_{-})t}{2\hbar }}\right)$，同样也是振荡形式。

这些二能级系统的振荡称为拉比振荡，在许多问题之中都会发生这种振荡，如中微子振荡、电离氢分子、量子计算、氨激微波等等。

量子计算中的拉比振荡

任何双态量子系统都可以用来模拟量子比特。现在考虑一个自旋${\tfrac {1}{2}}$系统，将磁矩${\boldsymbol {\mu }}$置于经典磁场${\boldsymbol {B}}=B_{0}\ {\hat {z}}+B_{1}\left(\cos {(\omega t)}\ {\hat {x}}-\sin {(\omega t)}\ {\hat {y}}\right)$之中。令系统旋磁比$\gamma$，因此磁矩${\boldsymbol {\mu }}={\frac {\hbar }{2}}\gamma {\boldsymbol {\sigma }}$，可以给出该系统的哈密顿量$\mathbf {H} =-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-{\frac {\hbar }{2}}\omega _{0}\sigma _{z}-{\frac {\hbar }{2}}\omega _{1}(\sigma _{x}\cos \omega t-\sigma _{y}\sin \omega t)$，此处$\omega _{0}=\gamma B_{0}$，$\omega _{1}=\gamma B_{1}$。

透过上述步骤，我们可以求得哈密顿量的特征值和特征矢量。现在，让量子比特在$t=0$时刻处于量子态$|0\rangle$，那么，在$t$时刻，量子比特处于量子态$|1\rangle$的概率为$P_{0\to 1}(t)=\left({\frac {\omega _{1}}{\Omega }}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\Omega t}{2}}\right)$$\Omega ={\sqrt {(\omega -\omega _{0})^{2}+\omega _{1}^{2}}}$，这种现象就称作拉比振荡。因此，量子比特会在量子态$|0\rangle$和$|1\rangle$之间振荡。振荡的振幅会在$\omega =\omega _{0}$达到最大，而这即为共振条件。共振时的跃迁概率为$P_{0\to 1}(t)=\sin ^{2}\left({\frac {\omega _{1}t}{2}}\right)$，要从一个量子态$|0\rangle$跃迁到另一个量子态$|1\rangle$，只需调整旋转场作用的时间$t$满足${\frac {\omega _{1}t}{2}}={\frac {\pi }{2}}$或是$t={\frac {\pi }{\omega _{1}}}$就充分了，这叫做“$\pi$脉冲”。如果选择的时间介于0和${\frac {\pi }{\omega _{1}}}$之间，我们会得到$|0\rangle$和$|1\rangle$的叠加态。尤其是当$t={\frac {\pi }{2\omega _{1}}}$的时候，我们会得到一个“${\frac {\pi }{2}}$脉冲”，它的作用是造成$|0\rangle \to {\frac {|0\rangle +i|1\rangle }{\sqrt {2}}}$量子态跃迁，而这个操作在量子计算中起到至关重要的作用。当对激光场中的二能级原子进行大致满意的旋转波近似时，方程基本上是相同的。然后两个原子能级之间的能量差$\hbar \omega _{0}$($\omega$是激光波的频率)及拉比频率$\omega _{1}$，与原子的跃迁电偶极矩${\vec {d}}$与激光波电场${\vec {E}}$的乘积成正比，也就是$\omega _{1}\propto \hbar \ {\vec {d}}\cdot {\vec {E}}$。总而言之，拉比振荡是用于操纵量子比特的基本过程，而这个振荡是在适当调整的时间间隔内，借由将量子比特暴露在周期性的电场或磁场中来获得。

相关条目

• 原子相干性
• 布洛赫球面
• 激光激升
• 光激升
• 拉比频率
• 拉比问题
• 真空拉比振荡

外部链接

• https://web.archive.org/web/20110719095612/http://www.itp.tu-berlin.de/menue/lehre/owl/quantenmechanik/zweiniveau/parameter/en/

A Java applet that visualizes Rabi Cycles of two-state systems (laser driven).

• https://web.archive.org/web/20110719095819/http://www.itp.tu-berlin.de/menue/lehre/owl/quantenmechanik/elektron-phonon-wechselwirkung/parameter/en/

extended version of the applet. Includes electron phonon interaction.