此条目介绍的是集合的0-1指示函数。关于其他指示特征的函数,请见“
示性函数”。
在集合论中,指示函数是定义在某集合X上的函数,表示其中有哪些元素属于某一子集A。指示函数有时候也称为示性函数或特征函数。
集X的子集A的指示函数是函数,定义为
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若
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若
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A的指示函数也记作或。
把X的子集A对应到它的指示函数的映射是双射,值域是所有函数 的集合。
如果A和B是X的两个子集,那么
- ,
以及
- 。
更一般地,设A1, ..., An是X的子集。对任意 ,可知
- 当且仅当x不属于任何Ak。
故有
- 。
展开左式
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|
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,
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其中|F|是F的势。这是容斥原理的一个形式。
如上一例子所示,指示函数是组合数学一个有用记法。这记法也用在其他地方,例如在概率论:若X是概率空间,有概率测度P,A是可测集,那么1A就是随机变量,其期望值等于A的概率。
- 。
这等式用于马尔可夫不等式的一个简单证明里。