无穷公理

在公理化集合论和使用它的逻辑、数学和计算机科学中，无穷公理（英语：Axiom of infinity）是策梅洛-弗兰克尔集合论的公理之一。

形式陈述

在Zermelo-Fraenkel公理的形式语言中，这个公理读作：

$\exists \mathbf {N} :\varnothing \in \mathbf {N} \land (\forall x:x\in \mathbf {N} \implies x\cup \{x\}\in \mathbf {N} )$

或用非形式化的语言陈述：存在一个集合$\mathbb {N}$，使得空集在$\mathbb {N}$中，并且只要$x$是$\mathbb {N}$的成员，则$x$与它的单元素集合$\{x\}$此两者的并集也是$\mathbb {N}$的成员。这种集合有时也叫做归纳集合。归纳集合是带有如下性质的集合$X$：对于所有$x\in X$，$x$的后继$x'$也是$X$的一个元素。

解释

要理解这个公理，首先我们要定义$x$的后继为$x\cup \{x\}$。注意配对公理允许我们形成单元素集合$\{x\}$。 后继是用来定义自然数的常用的集合论编码。在这种编码中，0是空集（$0=\varnothing$），而1是0的后继：

$1=0\cup \{0\}=\varnothing \cup \{0\}=\{0\}$

类似地，2 是1 的后继：

$2=1\cup \{1\}=\{0\}\cup \{1\}=\{0,1\}$

如此类推。这个定义的推论是对于任何自然数$n$，$n$等同于由它的所有前驱（predecessor）组成的集合。

我们希望可以形成包含所有自然数的一个集合，但是只使用其他ZF公理的话并不能做到这一点。因此，有必要加入无穷公理以假定这个集合的存在。它是通过类似于数学归纳法的方法完成的：首先假定有一个集合$S$包含零，并接着规定对于$S$的所有元素，这个元素的后继也在$S$中。

这个集合$S$可以不只是包含自然数，还包含别的元素。但是我们可以应用分类公理模式来除去不想要的元素，留下所有自然数的集合$\mathbb {N}$。通过外延公理可知这个集合是唯一的。应用分类（分离）公理的结果是：

$\exists \mathbf {N} \forall n(n\in \mathbf {N} \iff ([\forall k\in n(\bot )\lor \exists k\in n(\forall j\in k(j\in n)\land \forall j\in n(j=k\lor j\in k))]\land$
$\forall m\in n[\forall k\in m(\bot )\lor \exists k\in n(k\in m\land \forall j\in k(j\in m)\land \forall j\in m(j=k\lor j\in k))]))$

用非形式化的语言陈述：所有自然数的集合存在；这里的自然数要么是零，要么是一个自然数k的后继，并且$k$的每个元素要么是0要么是$k$的另外一个元素的后继。

所以这个公理的本质是：

有一个集合包含所有的自然数。

无穷公理也是von Neumann-Bernays-Gödel 公理之一。

延伸阅读

• Paul Halmos (1960) Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company. Reprinted 1974 by Springer-Verlag. ISBN 0-387-90092-6.
• Thomas Jech (2003) Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.
• Kenneth Kunen (1980) Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.