最大流最小割定理

最大流最小割定理最优化理论的定理。根据该定理,在一个网络流中,从源点汇点的最大的流量,等于它的最小割中每一条边的容量之和。“割”指的是一种的集合,如果移除这个集合的全部边,就会断开源点和汇点的连接。

最大流最小割定理线性规划中的对偶问题的一种特殊情况,并且可以用来推导门格尔定理König–Egerváry定理[1]

定义

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最大流和最小割定理是图论的一部分,因此为了准确定义,我们需要先定义图、流、割,然后再定义这个定理。

  为一个有向图,其中有一个起源点   和一个超汇点  ,代表   是所有流的源头,  是所有流的终点。这个图的每一条边都有一个容量 c : ER+,记做   或者  ,代表着能通过边   的最大流量。

最大流

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定义: 流量代表一种映射  ,记做  或者  ,代表通过边   的流量。每一条边所通过的流有以下两个限定条件:

  1. 流量限制  也就是说,一条边上的流量不可以超过它的容量。
  2. 流量守恒  也就是说,除了源点和汇点以外,进入一个节点的流量等于流出这个节点的流量,节点内不能保存流。

规定在一个图中,流的值是

 

也就是说,一个图的流是自其源点流出的流量之和,也是向其汇点流入的流量之和。或者说,由源点向汇点移动多少内容,这个图的流就是多少。

最大流问题计算 的最大值,即从  的最大流量。

最小割

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定义: s-t割   将图   完全划分为两部分,使得   也就是一侧有源,一侧有汇。 割集    也就是说,一条边当且仅当骑在这个划分方法上,一个节点位于划分出来的源侧,另一个位于汇侧,那么它包含在   里。因此如果   的割集是空集,或者我们把一个割集里的边全都从图中拿走,则  。通俗地说,割集就是一个图的断面,而割则是划分断面的方法。

规定在一个图中,s-t割的容量

  其中当   时,  , 否则为  

通俗地说,割的容量就是断面中所有边的总容量。

最小 s-t 割问题: 计算   的最小值。即找到一种割法,使割的容量最小。也就是说,找到通过能力最弱的断面。

主定理

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可以证明一切流都不能超过任何s-t割,所以经过图的最大流就是图的最小割。我们直观上就可以知道,通过能力最弱的断面就是整个网络的最大流量。这个理论把最大流问题和最小割问题联系了起来。

线性规划公式

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最大流最小割问题可以被看做为一对线性规划对偶问题。[2]

Max-flow (Primal)

Min-cut (Dual)

variables

    [a variable per edge]

    [a variable per edge]

    [a variable per non-terminal node]

objective

maximize  

[max total flow from source]

minimize  

[min total capacity of edges in cut]

constraints

subject to

 

[a constraint per edge and a constraint per non-terminal node]

subject to

 

[a constraint per edge]

sign constraints    

最大流的线性规划公式是容易理解的,对于最小割的线性规划公式的理解如下:

 
 

最小化目标是使在割中的边最小。

下列限制保证了这些变量可以确保一个合法的割。

  • 限制  (即  ) 确保了对两个非源点或汇点 u,v, 如果uS中 且 vT中, 那么边 (u,v)一定会被记在割中 ( )。
  • 限制  (即  ) 确保了如果 vT 中, 那么边 (s,v) 一定会被记在割中。
  • 限制  (即  ) 确保了 uS 中, 那么边 (u,t) 一定会被记在割中。

需要注意的是,这是一个最小化问题,我们不需要确保一条边不在割里,我们只要保证每条应当在割里的边被计算了。

注意到在给定的 s-t 割   中,如果   那么   并且 0 反之。 所以   应该等于 1 并且   应该等于0。由线性规划中的强对偶定理推得最大流最小割问题中的等式,也就是说如果原问题有一个最优解 x*,则对应问题也有一个最优解 y* ,并且两个解相等。

举例

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一个流量等于s-t 割的容量的流网络

上图是一个网络,上有流量为 7 的流。令 S 集合和 T 集合分别包含所有白色和灰色的点, 从而形成了一个割集包含图中虚线的 s-t 割,并且其容量为 7,与流量相同。故由大流最小割定理知,前述的流与 s-t 割皆达到流量及容量的极值。

应用

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广义最大流最小割定理

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额外规定映射  为点的容量,记做 c(v),使得一个流 f 不只要满足边的流量限制与流量守恒,还要满足点的流量限制,即

 

换句话说,流过 v 点的总流量不能超过 v 的容量 c(v)。一个 s-t 割 的定义为一个包含一些点和边的集合,满足与任一条由 s 到 t 的路径皆不互斥。并且 s-t 割的容量 定义成所有点和边的容量总和。

在此定义之下,广义最大流最小割定理的叙仍为流量的最大值等于所有 s-t 割的容量最小值。

门格尔定理

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不共边路径问题为给定无向图   及两顶点 s、t,求从 s 到 t 彼此没有共同边的路径数量的最大值。

门格尔定理的叙述为从 s 到 t 彼此没有共同边的路径数量的最大值等于在所有 G 的 s-t 割(以原本的定义)中,顶点分别在不同集合的边数的最小值。

计划选择问题

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计划选择问题的网络型态

计划选择问题叙述如下:当下有 n 个计划  可以被实施、m 种设备   可以被购买,要执行计划必须拥有该计划要求的设备,执行计划  可获得   的收益,但购买设备   要支付   的费用。如何选择执行计划并购买所需设备以获得净利的最大值?

设 P 为被执行的计划的集合,Q 为所购买的设备,则问题变成求最大值

 

注意到  与 P、Q 的选择无关,故只需求后两项和的最小值,即

 

现在考虑一个网络,起源点 s 连接到 n 个点  ,边的容量分别为  ,超汇点 t 连接到 m 个点  ,边的容量分别为  ,若执行任务  需购买设备   ,则在    之间连上一条容量为无限大的边,若不需购买设备,则不连上边。则   对应到一个 s-t 割的容量,其中的两个集合是要执行的计划与要购买的设备和它的余集,也就是

 

在此,  。于是,原问题转成求该图的最大流问题,并且可以借由各种算法求得其极值。

以下给出一个计划选择问题的例子,右图是该问题对应到的网络。

计划收入 r(pi)

设备价格 c(qj)

备注
1 100 200

执行计划 p1 须购买设备 q1q2

2 200 100

执行计划 p2 须购买设备 q2

3 150 50

执行计划 p3 须购买设备 q3

该网络的最小 s-t 割是选择计划 p2p3 与设备 q2q3,容量为 250。三个计划的总收益是 450,因此最大净利为 450 − 250 = 200。

以上解法可以理解为将计划所给予的收益流过所需设备,如果无法流满设备至 t 的边,代表执行计划不合成本,最小割将选择穿过 s 到计划的边而非穿过设备到 t 的边。

影像分割问题

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Each black node denotes a pixel.

设原图有 n 像素,想要把该图分割为前景和背景,并且将 i 像素归类为前景有效益  fi,归类为背景有效益  bi,但是若 i、j 像素相邻且被归类为不同块,则会减少 pij 的效益。求将该图分割为前后景的最有效益方法。

令 P 为前景的集合,Q 为背景的集合,于是问题转化成求最大值

 

因为  fi bi 的总合是与 P、Q的选取无关,因此等价于求以下最小值

 

以上的最小值问题可以被描述为一个网络的最小割问题,其中该网络如右图,以橘点为起源点;紫点为超汇点。各个像素被描述为网络的顶点,起源点至第 i 个像素连上一条容量为  fi有向边;第 i 个像素至超汇点连上一条容量为 bi有向边。相邻的像素 i、j 之间连上来回两条容量为 pij有向边。则一个 s-t 割代表一种将部分像素归类为前景 P、其余归类为背景 Q 的安排。

历史

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最大流最小割问题最早在1956年被P. Elias, A. Feinstein,和 C.E. Shannon 证明[3], 并且L.R. Ford, Jr. 和 D.R. Fulkerson 也在同年证明了该定理[3]

证明

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同之前的设定,G = (V, E) 是一个网络(有向图) ,s 点和 t 点分别为 G 的起源点和超汇点。

将所有流考虑成一个欧式空间有界子集,满足流量限制与流量守恒,而流量是一个连续函数,因此有极大值 |f| 。

设 f 达到最大流,令 (Gf ) 是 f 的残留网络,定义

  1. A:在 (Gf ) 中可以从 s 出发到达的点
  2. Ac:A 以外的点,即 V − A

换句话说,v∈A 当且仅当 s 可以流出更多流量到 v。

我们宣称  ,其中该 s-t 割的容量定义为

 .

由于   的大小等于所有流出集合 A 的流量总和减所有流入集合 A 的流量总和,故  ,并且等号成立当且仅当

  • 所有从 A 流向 Ac 的边流量均已达饱和。
  • 所有从 Ac 流向 A 的边流量均为 0。

我们用反证法分别证明以上两点:

  • 假设存在从 A 流向 Ac 的边   并未达到饱和,即  。因此,可以从 x 流更的流量到 y,(x,y) 是 Gf 的一条边。由 x∈A 知 Gf 图中有一条中的路径从 s 到 x,其中只经过 A 中的点, 所以 y∈A,产生矛盾。是故所有从 A 流向 Ac 的边流量均已达饱和。
  • 假设存在从 Ac 流向 A 的边   其流量不为 0,即  。因此,可以从 y 流更的流量到 x,(x,y) 是 Gf 的一条边。由 x∈A 知 Gf 图中有一条中的路径从 s 到 x,其中只经过 A 中的点, 所以 y∈A,产生矛盾。是故所有从 Ac 流向 A 的边流量均为 0。

于是,声称得证。

由于流量恒不超过容量,|f| 是容量的下界,所以   是容量的最小值,由声称知,最大流最小割定理得证。

参见

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参考文献

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  1. ^ Dantzig, G.B.; Fulkerson, D.R. On the max-flow min-cut theorem of networks (PDF). RAND corporation. 9 September 1964: 13 [10 January 2018]. (原始内容存档 (PDF)于2018-05-05). 
  2. ^ Trevisan, Luca. Lecture 15 from CS261: Optimization (PDF). (原始内容存档 (PDF)于2019-11-01). 
  3. ^ 3.0 3.1 P. Elias, A. Feinstein, and C. E. Shannon, A note on the maximum flow through a network, IRE. Transactions on Information Theory, 2, 4 (1956), 117–119