最短路径树

最短路径树（shortest-path tree），是一种使用最短路径算法生成的数据结构树。

定义

考虑一个连通无向图 $G$ ，一个以顶点 $v$ 为根节点的最短路径树 $T$ 是图 $G$ 满足下列条件的生成树——树 $T$ 中从根节点 $v$ 到其它顶点 $u$ 的路径距离，在图 $G$ 中是从 $v$ 到 $u$ 的最短路径距离。

在一个所有最短路径都明确（例如没有负长度的环）的连通图中，我们可以使用如下算法构造最短路径树：

使用戴克斯特拉算法或贝尔曼-福特算法计算图 G 中从根节点 v 到顶点 u 的最短距离 $dist(u)$
对于所有的非根顶点 $u$ ，我们可以给 $u$ 分配一个父顶点 $p_{u}$ ， $p_{u}$ 连接至u且 $dist(p_{u})+edge\_dist(p_{u},u)=dist(u)$ 。当有多个 $p_{u}$ 满足条件时，选择从v到 $p_{u}$ 的最短路径中边最少的 $p_{u}$ 。当存在零长度环的时候，这条规则可以避免循环。
用各个顶点和它们的父节点之间的边构造最短最短路径树。

上面的算法保证了最短路径树的存在。像最小生成树一样，最短路径树通常也不是唯一的。

在所有边的权重都相同的时候，最短路径树和广度优先搜索树一致。在存在负长度的环时，从 $v$ 到其它顶点的最短简单路径不一定构成最短路径树。