有理函数(英语:Rational function)是可以表示为以下形式的函数:
,
不全为0。
有理数式是多项式除法的商,有时称为代数分数。
有理函数的泰勒级数的系数满足一个线性递归关系。反之,若一个泰勒级数的系数满足一个线性递归关系,它对应的函数是有理函数。
部分分式,又称部分分数、分项分式,是将有理数式分拆成数个有理数式的技巧。
有理数式可分为真分式、假分式和带分式,这和一般分数中的真分数、假分数和带分数的概念相近。真分式分子的次数少于分母的。
若有理数式 的分母 可分解为数个多项式的积,其部分分数便是 ,其中 是 的因子, 是次数不大于Q(x)/h_n(x)的多项式。
- 分拆
分子的次数是3,分母的是2,所以先将它转成真分式和多项式的和(即带分式):
因为 ,所以
其中A和B是常数。两边乘以 ,得
即
比较系数,得
解得 。
故:
也可以把x的特殊值代入等式来解出A和B。例如,当x=4时,我们有
当x=-7时,我们有
在计算有理数式的积分时,部分分数的方法很有用,因为分母的1和2次多项式的有理数式的积分都有固定的方法计算。
- 分母为1次多项式:求 。
设 :
-
-
原式变为
-
- 分母次数为2:求 。
若多项式 可分解为两个一次多项式的积(即 ),则可用部分分数的方法解决。若多项式不可分解,则将它配方,再用各种替代法解决。
例如:
-
因为
-
考虑
-
-
-
将分子分解,以便应用上面的替换:
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左边:
-
另一边:
-
代入
-
-
-
另一种可行的代入方法是:
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-
奥斯特罗格拉茨基方法(Ostrogradsky Algorithm / Ostrogradsky's Method)是这样的:
设求积的有理函数为 ,其中 是多项式, ( 的次数少于 )。设 为Q的导数Q'和Q的最大公因数, 。则有:
-
其中 为多项式, 。
- 求 。
-
-
-
-
设
-
两边取导数:
-
通分母,右边的分子为:
-
比较分子的多项式的系数,得 。于是有
-
后者可用部分分数的方法求得。
-
-
两边乘以
-
由于 ,而 和 都是 的倍数,所以 是多项式。
比较两边多项式的次数:
-
-
-
-
因此 有解。