有理函数

2個多項式函數相除的函數

有理函数(英语:Rational function)是可以表示为以下形式的函数

不全为0。

有理数是多项式除法的商,有时称为代数分数

渐近线

编辑
  • 不失一般性可假设分子、分母互质。若存在 ,使得 是分母 的因子,则有理函数存在垂直渐近线 
  •  ,有水平渐近线 
  •  ,有水平渐近线 
  •  ,有斜渐近线 

只有一条水平渐近线

泰勒级数

编辑

有理函数的泰勒级数的系数满足一个线性递归关系。反之,若一个泰勒级数的系数满足一个线性递归关系,它对应的函数是有理函数。

部分分式

编辑

部分分式,又称部分分数分项分式,是将有理数式分拆成数个有理数式的技巧。

有理数式可分为真分式、假分式和带分式,这和一般分数中的真分数、假分数和带分数的概念相近。真分式分子的次数少于分母的。

若有理数式 的分母 可分解为数个多项式的积,其部分分数便是 ,其中  的因子, 是次数不大于Q(x)/h_n(x)的多项式。

例子

编辑
  1. 分拆 

分子的次数是3,分母的是2,所以先将它转成真分式和多项式的和(即带分式):

 

因为 ,所以

 

其中A和B是常数。两边乘以 ,得

 

 

比较系数,得

 

 

解得 

故:  

也可以把x的特殊值代入等式来解出A和B。例如,当x=4时,我们有

 

 

当x=-7时,我们有

 

 

应用

编辑

积分

编辑

部分分数

编辑

在计算有理数式的积分时,部分分数的方法很有用,因为分母的1和2次多项式的有理数式的积分都有固定的方法计算。

  • 分母为1次多项式:求 

 

 
 

原式变为

 
  • 分母次数为2:求 

若多项式 可分解为两个一次多项式的积(即 ),则可用部分分数的方法解决。若多项式不可分解,则将它配方,再用各种替代法解决。

例如:

 

因为

 

考虑

 
 
 

将分子分解,以便应用上面的替换:

 

左边:

 

另一边:

 

代入

 
 
 

另一种可行的代入方法是:

 
 
 

 

奥斯特罗格拉茨基方法

编辑

奥斯特罗格拉茨基方法(Ostrogradsky Algorithm / Ostrogradsky's Method)是这样的:

设求积的有理函数为  ,其中 是多项式,  的次数少于 )。设 为Q的导数Q'和Q的最大公因数, 。则有:

 

其中 为多项式, 

应用例子

编辑
  •  
  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

 

 

两边取导数:

 

通分母,右边的分子为:

 

比较分子的多项式的系数,得 。于是有

 

后者可用部分分数的方法求得。

证明

编辑
 
 

两边乘以 

 

由于  ,而  都是 的倍数,所以 是多项式。

比较两边多项式的次数:

  •  
  •  
  •  
  •  

因此 有解。

Hermite方法

编辑

应用

编辑

参考

编辑