期望

在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望（或数学期望，亦简称期望，物理学中称为期待值）是试验中每次可能的结果乘以其结果概率的总和。换句话说，期望像是随机试验在同样的机会下重复多次，所有那些可能状态平均的结果，便基本上等同“期望”所期望的数。期望可能与每一个结果都不相等。换句话说，期望是该变量输出值的加权平均。期望并不一定包含于其分布值域，也并不一定等于值域平均值。

例如，掷一枚公平的六面骰子，其每次“点数”的期望是3.5，计算如下：

{\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&=1\cdot {\frac {1}{6}}+2\cdot {\frac {1}{6}}+3\cdot {\frac {1}{6}}+4\cdot {\frac {1}{6}}+5\cdot {\frac {1}{6}}+6\cdot {\frac {1}{6}}\\[6pt]&={\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3.5\end{aligned}}

不过如上所说明的，3.5虽是“点数”的期望，但却不属于可能结果中的任一个，没有可能掷出此点数。

数学定义

如果 $X$ 是在概率空间 $(\Omega ,F,P)$ 中的随机变量，那么它的期望 $\operatorname {E} (X)$ 的定义是：

\operatorname {E} (X)=\int _{\Omega }X\,\mathrm {d} P

并不是每一个随机变量都有期望的，因为有的时候上述积分不存在。

如果两个随机变量的分布相同，则它们的期望也相同。

如果 $X$ 是离散的随机变量，输出值为 $x_{1},x_{2},\ldots$ ，和输出值相应的概率为 $p_{1},p_{2},\ldots$ （概率和为1）。

若级数 $\sum _{i}p_{i}x_{i}$ 绝对收敛，那么期望 $\operatorname {E} (X)$ 是一个无限数列的和。

\operatorname {E} (X)=\sum _{i}p_{i}x_{i}

如果 $X$ 是连续的随机变量，存在一个相应的概率密度函数 $f(x)$ ，若积分 $\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x$ 绝对收敛，那么 $X$ 的期望可以计算为：

\operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x

。

是针对于连续的随机变量的，与离散随机变量的期望的算法同出一辙，由于输出值是连续的，所以把求和改成了积分。

性质

期望 $E$ 是线性函数。
$\operatorname {E} (aX+bY)=a\operatorname {E} (X)+b\operatorname {E} (Y)$

$X$ 和 $Y$ 为在同一概率空间的两个随机变量（可以独立或者非独立）， $a$ 和 $b$ 为任意实数。
一般的说，一个随机变量的函数的期望并不等于这个随机变量的期望的函数。
$\operatorname {E} (g(X))=\int _{\Omega }g(x)f(x)\,\mathrm {d} x\neq g(\operatorname {E} (X))$
在一般情况下，两个随机变量的积的期望不等于这两个随机变量的期望的积。
当 $\operatorname {E} (XY)=\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)$ 成立时，随机变量 $X$ 和 $Y$ 的协方差为0，又称它们不相关。特别的，当两个随机变量独立时，它们协方差（若存在）为0。