不定式 (数学)

在微积分和数学分析的其他分支中，不定式（英语：Indeterminate form），又称未定式，是指这样一类极限，其在按极限的运算规则进行代入后，还未能得到足够信息去确定极限值。

这个术语最初由柯西的学生穆瓦尼奥在19世纪中叶提出。常见的不定式有：${\frac {0}{0}},~{\frac {\infty }{\infty }},~0\times \infty ,~1^{\infty },~\infty -\infty ,~0^{0}{\text{ 和 }}~\infty ^{0}$。 处理计算未定式的值常见的方法为使用洛必达法则。

例子

0除以0

${\frac {0}{0}}$ 是不定式。

0的0次方

$0^{0}$也是不定式。在不同软件中，有不同的处理规则，有些定义为1或0，有些视为“没有定义”。

在数学上，当$x$趋向$0^{+}$，$x^{x}$的极限是1。

$\lim _{x\to 0^{+}}0^{x}=0\qquad$

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{0}=1\qquad$

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1\qquad$

在幂级数和微积分中，有时候必须定义$0^{0}=1$，等式才会成立。

在二项式定理中，当$x=0$，右式会出现$0^{0}$。

$(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}$

微分学的幂法则，在$n=1$及$x=0$的情况下，也会出现$0^{0}$。

${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$

物理

在物理学上这是有一定的解释。比如说电阻定义 $R={\frac {V}{I}}$，当电压和电流都为 $0$ 时 $R$ 的值存在不确定性。

例如，极限

$\lim _{x\to c}{f(x) \over g(x)}$ $f(c)=g(c)=0\,$。若 $f(x)\,$ 等于 $g(x)\,$，极限为1；若 $f(x)\,$ 等于 $g(x)\,$ 的两倍，则极限为2。

更一般地，${\frac {0}{0}}$ 的极限可以通过洛必达法则求得。

不定式列表

下表中列出了最常见的不定式，可以通过变换来使得它们满足洛必达法则的条件。

不定式	条件	变换到0/0	变换到∞/∞
$0/0$	$\lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!$	—	$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!$
$\infty /\infty$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!$	—
$0\cdot \infty$	$\lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!$
$\infty -\infty$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!$	$\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!$
$0^{0}$	$\lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$
$1^{\infty }$	$\lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$
$\infty ^{0}$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$