羊角螺线

羊角螺线（clothoid），又称欧拉螺线（Euler spiral），是形式为

双头欧拉螺线

羊角螺线

$x=C(t)$

$y=S(t)$

的曲线，其中$C(t)$、$S(t)$为 Fresnel积分：

$S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}},$

$C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}}.$

上面参数方程的参数$t$，也是螺线于该点的曲率：$\kappa (t)=2t$。

两个螺线的中心位于$\pm ({\frac {\sqrt {2\pi }}{4}},{\frac {\sqrt {2\pi }}{4}})$

由于此螺线的曲率与长度成正比，故常用于公路工程或铁路工程，以缓和直路线与圆曲路线之间的曲率变化（向心力变化）。

在光学上，近场衍射（Fresnel衍射）中会应用Fresnel积分。

性质

• $C(x)$和$S(x)$是$x$的奇函数。

• $C$和$S$是整函数。

• 利用以上的幂级数展开式，可以把Fresnel积分扩展到复数范围，它是解析函数。Fresnel积分可以用误差函数来表示：

$S(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {-i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)$

$C(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {-i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)$.

• $C(x)$和$S(x)$所定义的积分不能表示为初等函数。当$x$趋于无穷大时，函数的值为：

$\int _{0}^{\infty }\cos t^{2}\,dt=\int _{0}^{\infty }\sin t^{2}\,dt={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}.$

参见

• 双曲螺线
• 圆内螺线
• 等角螺线
• 费马螺线
• 连锁螺线
• 阿基米德螺线