圆柱坐标系

圆柱坐标系（英语：cylindrical coordinate system）是一种三维坐标系统。它是二维极坐标系往 z-轴的延伸。添加的第三个坐标 $z$ 专门用来表示 P 点离 xy-平面的高低。按照国际标准化组织建立的约定 (ISO 31-11) ，径向距离、方位角、高度，分别标记为 $(\rho ,\ \phi ,\ z)$ 。

用圆柱坐标 $(\rho ,\ \phi ,\ z)$ 来表示一个点的位置

定义

圆柱坐标 $(\rho ,\ \phi ,\ z)$ 的坐标曲面。红色圆柱面的 $\rho =2$ 。蓝色平面的 $z=1$ 。黄色半平面的 $\phi =-60^{\circ }$ 。 z-轴是垂直的，以白色表示。 x-轴以绿色表示。三个坐标曲面相交于点 P （以黑球表示）。点 P 的直角坐标大约为 $(1.0,\ -1.732,\ 1.0)$ 。

如图右，P 点的圆柱坐标是 $(\rho ,\ \phi ,\ z)$ 。

• $\rho$ 是 P 点与 z-轴的垂直距离。
• $\phi$ 是线 OP 在 xy-面的投影线与正 x-轴之间的夹角。
• $z$ 与直角坐标的 $z$ 等值。

符号约定

圆柱坐标系的记号并不统一。ISO标准31-11推荐(ρ, φ, z)，这里的ρ是径向距离，φ是方位角，而z是高度。但是，径向距离也常表示为r或s，方位角也常表示为θ或t，高度坐标也常表示为h或x(如果圆柱轴被认为是水平的）或任何特定于上下文的字母。

坐标系变换

三维空间里，有许多各种各样的坐标系。圆柱坐标系只是其中一种。圆柱坐标系与其他坐标系的变换需要用到特别的方程式。

直角坐标系

更多信息：直角坐标系

使用以下方程式，可以从直角坐标变换为圆柱坐标：

${\rho }={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ 、

${\phi }=\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)$ 、

$z=z$ 。

特别注意，当求取方位角时，必须依照 $(x,\ y)$ 所处的象限来计算正确的反正切值。

相反地, 可以从圆柱坐标变换为直角坐标：

$x=\rho \cos \phi$ 、

$y=\rho \sin \phi$ 、

$z=z$ 。

球坐标系

用球坐标 $(r,\ \theta ,\ \phi )$ 来表示一个点的位置

更多信息：球坐标系

使用以下方程式，可以从球坐标变换为圆柱坐标：

$\rho =r\sin \theta$、

$\phi =\phi$ 、

$z=r\cos \theta$ 。

相反地, 可以从圆柱坐标变换为球坐标：

$r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}$ 、

$\theta =\arctan {\frac {\rho }{z}}$ 、

$\phi =\phi$ 。

圆柱坐标系下的微积分公式

圆柱坐标系的坐标因子分别为

$h_{\rho }=1$ 、

$h_{\phi }=\rho$ 、

$h_{z}=1$ 。

在许多关于圆柱坐标系的问题中，我们时常需要知道线元素与体积元素的方程式；用这些方程式来求解关于径长或体积的积分问题。线元素是

$\mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} \rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,\mathrm {d} \varphi \,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+\mathrm {d} z\,\mathbf {\hat {z}}$ 。

面积元素是

$\mathrm {d} S=\rho \,d\varphi \,dz$ 。

体积元素是

$\mathrm {d} V=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z$ 。

劈形算符表示为

$\nabla ={\boldsymbol {\hat {\rho }}}{\frac {\partial }{\partial \rho }}+{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}+\mathbf {\hat {z}} {\frac {\partial }{\partial z}}$ 。

拉普拉斯算子是

$\nabla ^{2}\Phi ={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial \Phi \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}\Phi \over \partial \phi ^{2}}+{\partial ^{2}\Phi \over \partial z^{2}}$ 。

其它微分算子，像 $\nabla \cdot \mathbf {F}$ ， $\nabla \times \mathbf {F}$ ，都可以用 $(\rho ,\ \phi ,\ z)$ 坐标表示，只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

应用

圆柱坐标常被用来分析，选用 z-轴为对称轴，有轴对称特性的物体。例如，一个无限长的圆柱，具有直角坐标方程式 $x^{2}+y^{2}=c^{2}$；用圆柱坐标来表示，有一个非常简易的方程式 $\rho =c$。这也是圆柱坐标系名称的由来。

参见

• 在圆柱和球坐标系中的del