格兰迪级数 （英语：Grandi's series ），即
1
−
1
+
1
−
1
+
⋯
{\textstyle 1-1+1-1+\cdots }
数学家 格兰迪 丹尼尔·伯努利 和瑞士数学家莱昂哈德·欧拉 等人也都曾研究过它。格兰迪级数写作：
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}}
它是一个发散级数 ，也因此在一般情况下，这个无穷级数是没有和的。但若对该发散级数进行一些特别的求和处理时，就会有特定的和出现。格兰迪级数的欧拉和 和切萨罗和 均为
1
2
{\displaystyle \,{\frac {1}{2}}}
格兰迪级数与级数1 − 2 + 3 − 4 + … 有紧密的联系。欧拉将这两个级数当作1 − 2n n n 的特例（其中
n
{\displaystyle n}
巴塞尔问题 上所做的工作，同时也引出了现在所知的狄利克雷η函数 和黎曼ζ函数 。
针对以下的格兰迪级数
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + … 一种求和方式是求它的裂项和 ：
(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0. 但若调整括弧的位置，会得到不同的结果：
1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1. 用不同的方式为格兰迪级数加上括弧进行求和，其级数和可以得到0或是1的值。
格兰迪级数为发散几何级数 ，若将收敛几何级数求和的方式用在格兰迪级数，可以得到第三个数值：
S
{\displaystyle S}
1 −
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
2
S
{\displaystyle S}
可得到
S
{\displaystyle S}
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
[1]
依照上述的计算，可以得到以下的二种结论：
格兰迪级数 1 − 1 + 1 − 1 + … 的和不存在[1] [2]
格兰迪级数的和为
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
[2] 上述二个答案都可以精确的证明，但需要用19世纪提出的一些良好定义的数学概念。从17世纪欧洲开始使用微积分起，一直到现在严谨的数学成型之前，上述二个答案已造成数学家们尖锐及无止尽的争论[3] [4]
稳定性及线性
编辑
对于格兰迪级数
1
−
1
+
1
−
1
+
⋯
{\textstyle \,1-1+1-1+\cdots }
1
2
{\displaystyle \;{\tfrac {1}{2}}}
级数内的数两两相加或相减。
每一项乘以一个系数。
调整括弧顺序。
在级数前面增加新的项。 不过因为上述的处理方式只能适用在收敛的级数，而
1
−
1
+
1
−
1
+
⋯
{\textstyle \,1-1+1-1+\cdots \,}
由于各项 1,−1,1,−1,1,−1,…… 以一种简单模式排列，格兰迪级数可以透过移项以及逐项求和，再透过解方程 得出一数值。暂时假设
s
=
1
−
1
+
1
−
1
+
⋯
{\textstyle \,s=1-1+1-1+\cdots \,}
s
{\displaystyle \;s\;}
s
=
1
2
{\textstyle \;s={\frac {1}{2}}}
2
s
=
(
1
−
1
+
1
−
1
+
⋯
)
+
(
1
−
1
+
1
−
1
+
⋯
)
=
(
1
−
1
+
1
−
1
+
⋯
)
+
1
+
(
−
1
+
1
−
1
+
1
⋯
)
=
1
+
[
(
1
−
1
−
1
+
1
⏟
0
)
+
(
−
1
+
1
+
1
−
1
⏟
0
)
+
⋯
]
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}2s\ &=&\!&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots )&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots )\quad \,\\\\\ &=&\!&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots )&+\,1\,+&(\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,1\,\cdots )\quad \,\\\\\ &=&1\,\ +&[\,(\,\underbrace {1\,-\,1\,-\,1\,+\,1} _{0}\,)\quad &+\ \ \;\;\,&(\,\underbrace {-\,1\,+\,1\,+\,1\,-\,1} _{0}\,)\,+\,\cdots ]\end{smallmatrix}}}
因此，
s
=
1
2
{\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}}
[5]
再者，有许多的求和方式可以处理发散级数，并且可以对一些发散级数求和；其中相对简单的方法是切萨罗求和[6]
切萨罗和
编辑
恩纳斯托‧切萨罗 在1890年第一个出版有关对发散级数求和的严谨方法，就是切萨罗和 。基本概念类似莱布尼兹的概率法，一个级数的切萨罗和是其所有分项和的平均。也就是针对每个
n
{\displaystyle \;n\;}
n
{\displaystyle \;n\;}
σ
n
{\textstyle \;\sigma _{n}\;}
n
{\displaystyle \;n\;}
以格兰迪级数而言，而数列
s
1
+
⋯
+
s
n
n
{\textstyle {\tfrac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}}
1
1
,
1
2
,
2
3
,
2
4
,
3
5
,
3
6
,
4
7
,
4
8
,
…
{\displaystyle {\frac {1}{1}},\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {2}{3}},\,{\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{5}},\,{\frac {3}{6}},\,{\frac {4}{7}},\,{\frac {4}{8}},\,\ldots }
而
lim
n
→
∞
s
1
+
⋯
+
s
n
n
=
1
2
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}={\frac {1}{2}}}
因此，格兰迪级数的切萨罗和为
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
也可以用广义的切萨罗和
(
C
,
a
)
{\displaystyle \;\left(C,a\right)\;}
[7]
这个级数的部分和 如下：
{
S
1
=
1
S
2
=
1
−
1
=
0
S
3
=
1
−
1
+
1
=
1
S
4
=
1
−
1
+
1
−
1
=
0
⋮
{\displaystyle {\begin{cases}S_{1}=1\\S_{2}=1-1=0\\S_{3}=1-1+1=1\\S_{4}=1-1+1-1=0\\\quad \;\,\vdots \end{cases}}}
由此得出另一个无穷序列：
S
1
,
S
2
,
S
3
,
S
4
,
⋯
=
1
,
0
,
1
,
0
,
⋯
{\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4},\cdots =1,0,1,0,\cdots }
根据无穷级数的定义，
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
=
lim
n
→
∞
S
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\,(-1)^{n}=\lim _{n\to \infty }S_{n}}
但是
S
n
{\displaystyle \;S_{n}\;}
lim
n
→
∞
S
n
{\displaystyle \;\lim _{n\to \infty }S_{n}\;}
因此
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
{\displaystyle \;\sum _{n=0}^{\infty }\,(-1)^{n}\;}
格兰迪级数的应用
编辑
以下的幂级数和格兰迪级数有关，也是其母函数 ：
f
(
x
)
=
1
−
x
+
x
2
−
x
3
+
⋯
=
1
1
+
x
{\displaystyle f(x)=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots ={\frac {1}{1+x}}}
狄拉克梳
编辑
格兰迪级数在另一个重要的级数中出现：
cos
x
+
cos
2
x
+
cos
3
x
+
⋯
=
∑
k
=
1
∞
cos
(
k
x
)
.
{\displaystyle \cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cdots =\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx).}
若x = π，其上述级数化简为−1 + 1 − 1 + 1 − · · ，欧拉认为其值符合以下的关系式Σ cos kx = −1 ⁄2 ，不过达朗贝尔 不同意此关系式，而拉格朗日 认为这可以用类似欧拉对格兰迪级数的理解来延伸说明[8]
欧拉的声明推测
1
+
2
∑
k
=
1
∞
cos
(
k
x
)
=
0
?
{\displaystyle 1+2\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx)=0?}
针对所有的x ，此级数都发散，不过对于几乎所有 的x ，切萨罗和 均为0。不过在x = 2πn 时，其级数发散，而且是狄拉克梳 傅里叶级数 。其一般和、切萨罗和及阿贝尔和分别和狄利克雷核 、费耶核 及泊松核 [9]
狄利克雷级数
编辑
将格兰迪级数各项乘以1/n z 狄利克雷级数
η
(
z
)
=
1
−
1
2
z
+
1
3
z
−
1
4
z
+
⋯
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
n
z
,
{\displaystyle \eta (z)=1-{\frac {1}{2^{z}}}+{\frac {1}{3^{z}}}-{\frac {1}{4^{z}}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{z}}},}
上述级数只有在实部大于0的复数 z 才会收敛，若令z = 0，即为格兰迪级数。
不同于几何级数，狄利克雷级数对于1 − 1 + 1 − 1 + · · · 的求和没有什么帮助。即使在右半平面上，上述的
η
(
z
)
{\displaystyle \eta (z)}
η
(
z
)
{\displaystyle \eta (z)}
另一方面，若使用其他较强的求和法，则上述的
η
(
z
)
{\displaystyle \eta (z)}
狄利克雷η函数 ，而且此函数为解析函数 。若z 的实部> −1，就可以用切萨罗和 进行求和，因此η(0) = 1 ⁄2 。
狄利克雷η函数和另一个著名的狄利克雷级数及函数有关：
η
(
z
)
=
1
+
1
2
z
+
1
3
z
+
1
4
z
+
⋯
−
2
2
z
(
1
+
1
2
z
+
⋯
)
=
(
1
−
2
2
z
)
ζ
(
z
)
,
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\eta (z)&=&\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{z}}}+{\frac {1}{3^{z}}}+{\frac {1}{4^{z}}}+\cdots -{\frac {2}{2^{z}}}\left(1+{\frac {1}{2^{z}}}+\cdots \right)\\[1em]&=&\displaystyle \left(1-{\frac {2}{2^{z}}}\right)\zeta (z),\end{array}}}
其中ζ为黎曼ζ函数 。若将格兰迪级数的和再配合上述公式，可以得到ζ(0) = −1 ⁄2 。参照1 + 1 + 1 + 1 + … 。
上述的关系式也可以推得一些更重要的性质。由于黎曼ζ函数可表示为η(z )和(1 − 21−z )相除的结果，二个函数在整个复平面均为解析函数，而后者的零点 是在z = 1的简单零点 ，因此可得ζ(z )为亚纯函数 ，只在z = 1有一个极点 [10]
格兰迪级数及其衍生的级数常在物理学的各领域中出现，最典型的是量子化的费米子 场，其中同时有正的及负的特征值，例如手征口袋模型（chiral bag model）。不过这些级数也出现在玻色子 的相关研究中，例如卡西米尔效应 。
在光谱非对称性 正规化 的一部分，例如ζ函数正规化
相关条目
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参考资料
编辑
^ 1.0 1.1 Devlin, Keith. Mathematics, the science of patterns: the search for order in life, mind, and the universe . Scientific American Library. 1994: 77 . ISBN 0-7167-6022-3 ^ 2.0 2.1 Davis, Harry F. Fourier Series and Orthogonal Functions . Dover. May 1989: p.152. ISBN 0-486-65973-9 ^ Kline, Morris. Euler and Infinite Series . Mathematics Magazine. November 1983, 56 (5): 307. JSTOR 2690371 doi:10.2307/2690371 ^ Knopp, Konrad. Theory and Application of Infinite Series . Dover. 1990: p.457 [1922]. ISBN 0-486-66165-2 ^ Hardy (p.6) 结合格兰迪级数
1
−
1
+
1
−
1
+
⋯
{\textstyle \,1-1+1-1+\cdots \,}
^ Davis pp.152, 153, 157
^ Smail, Lloyd. History and Synopsis of the Theory of Summable Infinite Processes. University of Oregon Press. 1925: p.131. LCC QA295 .S64 . ^ Ferraro, Giovanni. Convergence and formal manipulation in the theory of series from 1730 to 1815. Historia Mathematica. 2005, 34 : 62. doi:10.1016/j.hm.2005.08.004 ^ Davis pp. 153–159
^ Knopp pp. 491–492
![{\displaystyle {\begin{smallmatrix}2s\ &=&\!&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots )&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots )\quad \,\\\\\ &=&\!&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots )&+\,1\,+&(\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,1\,\cdots )\quad \,\\\\\ &=&1\,\ +&[\,(\,\underbrace {1\,-\,1\,-\,1\,+\,1} _{0}\,)\quad &+\ \ \;\;\,&(\,\underbrace {-\,1\,+\,1\,+\,1\,-\,1} _{0}\,)\,+\,\cdots ]\end{smallmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/056466ea3bbda58c1f81516bf8ce589c61e22f9c)
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\eta (z)&=&\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{z}}}+{\frac {1}{3^{z}}}+{\frac {1}{4^{z}}}+\cdots -{\frac {2}{2^{z}}}\left(1+{\frac {1}{2^{z}}}+\cdots \right)\\[1em]&=&\displaystyle \left(1-{\frac {2}{2^{z}}}\right)\zeta (z),\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15bdf898b79dd021b9adbcd40469ac6e7ba1329b)
