梅尔德实验

梅尔德实验是德国物理学家弗朗茨·梅尔德在1859年进行的关于驻波的科学实验，他起初用音叉产生振荡，后来换用电振荡器连接拉紧的细线制造此现象。梅尔德在1860年前后首先揭示了驻波现象及创造了“驻波”（德语：stehende Welle, Stehwelle）这个术语。 这个实验证明了机械波的干涉现象。机械波在相反方向传播时形成不动的点，称为节点，梅尔德又称这样的波为驻波，因节点和腹点（英语：antinode，振荡点）位置保持不变。

梅尔德实验的图示：一个电动振荡器，连结一根细线，带动一个滑轮，下面悬挂着拉紧线的重物。

背景

自然中的波现象被研究了数世纪，其中光的波动性是科学史上最具争议的话题之一。17世纪，艾萨克·牛顿用粒子理论描述光；之后的18世纪，托马斯·杨建立了与牛顿相对立的波动理论。19世纪末的第二次工业革命顶峰，这个时期的代表科技，电力技术对波理论做出了新贡献。这种技术进步使得弗朗茨·梅尔德能认识到波的干涉现象和驻波的产生。此之后詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在研究光的波动性质时成功地使用数学描述了电磁波。

原理

驻波的演示，每个不动的红点都代表一个节点

这个实验测量绳上的张力增加而改变的频率，这种改变类似于调整吉他弦时产生的音高变化，通过这种测量可以计算出单位长度绳的质量，即线密度，这是梅尔德实验的原理。线密度也可以简单测量绳长和绳重得到，用以验证计算结果。

电动振荡器带动绳子产生横机械波，传播至另一端的滑轮同样再反射传回，滑轮下悬挂重物，这在绳上产生一个确定的应力。相反方向传播的两波相遇产生波的干涉现象。绳上的适当张力保持电动振荡器和滑轮之间的距离，存在一些保持不动的点，名为节点，即产生驻波。

理论分析

梅尔德在此实验使用的原理有认为绳重可忽略的假设。由于建立在弯曲的绳上，实际上力不是直接相反。

建立笛卡尔坐标系，分别设 x 和 y 轴上的情况。x 轴分量上绳子没有位移，建立如下关系：

$T'_{x}=T_{x}$

而在 y 轴上，分力取决于弯曲产生的相近角度，获得如下关系︰

$T'_{y}=Tsen\alpha '$

$T'_{y}=-Tsen\alpha$

梅尔德实验的略图，表示了绳子和作用其上的分力。

因而得到${\overline {AB}}$段的力是：

$F_{y}=T(sen\alpha '-sen\alpha )$ ;

不过梅尔德建议在小角度中用正切近似代替正弦：

$F_{y}=T(tan\alpha '-tan\alpha )$

波继续传播而产生角度变化，为进行数学上的分析，将其写成下式：

$F_{y}=T\Delta (tan\alpha )$

将上式写成微分形式得到更准确的近似：

$F_{y}=T{\partial \over \partial x}tan(\alpha )dx$

再将其变为时间 $t$ 和质点在绳上位置 $x$ 两个变量的函数决定角度的形式。首先，角度的正切值由质点高度 $\xi$ 的微分和位置 $x$ 的微分的比值得到：

$tan\alpha \rightarrow f(x,t)$

$tan\alpha ={\partial \xi \over \partial x}$

得到张力 $T$ 和位置有关的质点高度 $\xi$ 的二阶偏微分所决定的力 $F_{y}$：

$F_{y}=T{\partial ^{2}\xi \over \partial x^{2}}dx$

根据经典力学中的牛顿第二运动定律，梅尔德引入线密度变量 $\rho$ 将公式写成：

$\rho dx{\partial ^{2}\xi \over \partial t^{2}}=T{\partial ^{2}\xi \over \partial x^{2}}dx$

整理得到：

${\partial ^{2}\xi \over \partial t^{2}}={T \over \rho }{\partial ^{2}\xi \over \partial x^{2}}$

比较上式与微分定义的速度得到的方程式，另外梅尔德又通过实验确定了驻波速度与张力和线密度有如下相关性：

${\partial ^{2}\xi \over \partial t^{2}}=v^{2}{\partial ^{2}\xi \over \partial x^{2}}$

$v={\sqrt {T \over \rho }}$

最后的方程是驻波速度方程。 也可以用频率 $\nu$ 和波长 $\lambda$ 的形式表达。

$v=\nu \lambda$

$T=\rho \nu ^{2}\lambda ^{2}$

影响

梅尔德实验认识和研究了驻波，但不止于此。驻波在声学领域是一种重要现象，两列相反的相干波就可以产生驻波。除演奏部分乐器会产生驻波外，在声纳、医学超声检查以及无线通讯等方面都有驻波现象。

另见

• 驻波
• 横波
• 机械波
• 管乐器
• 单弦乐器
• 特征值和特征向量

外部链接

• Index to All Physics Demonstrations [全部物理演示的索引]. 加利福尼亚大学柏克莱分校物理讲座演示的镜像网站. [2018-04-24]. （原始内容存档于2018-04-11） （英语）.  这个网站有许多物理教学用实验的器材图片，其中 B+50+10 Rope and strobe: Transverse standing waves, motor driven. 可以重复梅尔德实验
• Geneviève Tulloue. Corde de Melde [梅尔德的绳]. [2018-04-24]. （原始内容存档于2018-04-24） （法语）.  梅尔德实验的交互式 flash 演示