欧拉旋转定理

在运动学里，欧拉旋转定理（英语：Euler's rotation theorem）表明，在三维空间里，假设一个刚体在做一个位移的时候，刚体内部至少有一点固定不动，则此位移等价于一个绕着包含那固定点的固定轴的旋转。这定理是以瑞士数学家莱昂哈德·欧拉命名。于1775年，欧拉使用简单的几何论述证明了这定理。

用数学术语，在三维空间内，任何共原点的两个坐标系之间的关系，是一个绕着包含原点的固定轴的旋转。这也意味着，两个旋转矩阵的乘积还是旋转矩阵。一个不是单位矩阵的旋转矩阵必有一个实值的本征值，而这本征值是 1 。 对应于这本征值的本征矢量就是旋转所环绕的固定轴。

应用

旋转生成元

主条目：旋转矩阵和旋转群

假设单位矢量 $(x,\ y,\ z)\,\!$ 是旋转的瞬时固定轴，绕着这固定轴，旋转微小角值 $\Delta \theta \,\!$ ，则取至 $\Delta \theta \,\!$ 的一次方，旋转矩阵可以表达为：

$\Delta R={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\,\Delta \theta =\mathbf {I} +\mathbf {A} \,\Delta \theta \,\!$ 。

绕着固定轴做一个 $\theta \,\!$ 角值的旋转，可以被视为许多绕着同样固定轴的接连不断的微小旋转，每一个小旋转的角值为 $\Delta \theta =\theta /N\,\!$ 。让 $N\,\!$ 趋向无穷大，则绕着固定轴 $\theta \,\!$ 角值的旋转，可以表达为

$R=\lim _{N\to \infty }\ \left(\mathbf {1} +{\frac {\mathbf {A} \theta }{N}}\right)^{N}=e^{\mathbf {A} \theta }\,\!$ 。

欧拉旋转定理基要地阐明，所有的旋转都能以这形式来表达。乘积 $\mathbf {A} \theta \,\!$ 是这个旋转的生成元。用生成元来分析，而不用整个旋转矩阵，通常是较简易的方法。用生成元来分析的学术领域，称为旋转群的李代数。

四元数

根据欧拉旋转定理，任何两个坐标系的相对定向，可以由一组四个数字来设定；其中三个数字是方向余弦，用来设定特征矢量（固定轴）；第四个数字是绕着固定轴旋转的角值。这样四个数字的一组称为四元数。

如上所描述的四元数，并不介入复数。如果四元数被用来描述二个连续的旋转，则必须使用由威廉·哈密顿提出的非交换四元数代数以复数来计算。

在航空学应用方面，通过四元数方法来计算旋转，已经替代了方向余弦方法，这是因为它能减少所需的工作，和它能减小舍入误差。在计算机图形学里，四元数与四元数之间，简易执行插值的能力是很有价值的。

参阅

• 欧拉角
• 欧拉运动定律
• 旋转运动表述