深度 (模论)

在交换代数中， 深度是交换环与模的一种不变量，它可以由正则序列定义，或以同调代数中的Ext函子刻划。

正则序列

设 $R$ 为交换环，$M$ 为 $R$-模。若元素 $x\in R$ 满足 $\forall m\in M,\;xm=0\Rightarrow m=0$（即：$x$ 非 $M$ 的零因子），则称之为 $M$-正则元。

一组 M-正则序列是一个 $R$ 中的有限序列 $(x_{1},\ldots ,x_{d})$，使得对每个 $1\leq i\leq d$ 有

$x_{i}$ 为 $M/(x_{0},\ldots ,x_{i-1})$-正则元（置 $x_{0}:=0$）

定理（Rees）：若 $(R,{\mathfrak {m}})$ 是局部诺特环，元素皆属于 ${\mathfrak {m}}$ 的正则序列之置换仍是正则序列，而且这类序列中的极大者都具相同长度。

深度

假设同上，并固定一个理想 $I\subset R$。定义$R$-模 $M$ 的I-深度为元素皆属于 $I$ 的 $M$-正则序列的最大长度，记作 $\mathrm {depth} _{I}(M)$（在法文文献中常记作 $\mathrm {prof} _{I}(M)$）。环 $R$ 的 $I$-深度定义为 $\mathrm {depth} _{I}(R)$。

$\mathrm {depth} _{I}(M)$ 亦可用Ext函子刻划为使得 $\mathrm {Ext} ^{n}(R/I,M)\neq 0$ 的最小非负整数 $n$。

下列等式将深度问题化约到局部环的情形：

$\mathrm {depth} _{I}(M)=\sup _{{\mathfrak {p}}\supset I}(M_{\mathfrak {p}})$

以下定理揭示了深度与射影维度的关系。

定理 （Auslander-Buchsbaum）：设 $A$ 为局部诺特环，$M$ 为有限生成 $A$-模，而且其射影维度有限，则

$\mathrm {pd} _{A}(M)+\mathrm {depth} _{A}(M)=\mathrm {depth} (A)$

文献

• V.I. Danilov, Depth of a module, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer Graduate Texts in Mathematics, no. 150. ISBN 0-387-94268-8
• Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Cohen-Macaulay rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1