交换代数中,可以根据整闭包的有限性将整环分成数类。以下均假设 为一整环。

  • 被称作 N-1 环,当且仅当其在分式域 中的整闭包是有限 -模。
  • 被称作 N-2 环(或日本环,以纪念日本学派在此领域之贡献),当且仅当对任何有限扩张 中的整闭包是有限 -模。
  • 被称作泛日本环,当且仅当 上任何有限生成的整环都是日本环。
  • 一个泛日本环 被称作永田环(或拟几何环),当且仅当 也是诺特环。

注:一个代数簇的局部环或其完备化称作几何环,但此概念并不流行。

拟优环皆为永田环,所以代数几何中处理的环几乎都是永田环。是诺特整环而非永田环的例子首先由秋月康夫于1935年给出。

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