沃默斯利数

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沃默斯利数(Womersley number),会用α的符号表示,是生物流体力学生物流体动力学英语biofluid dynamics无量纲量。是表示脉动流英语pulsatile flow频率以及黏滞效应之间的关系。沃默斯利数得名自约翰·罗纳德·沃默斯利英语John R. Womersley(1907–1958),为纪念他在动脉血液流动上的研究,因此命名[1]。在实验建模时(实验研究中要比例放大血管系统时),会根据沃默斯利数来维持动态相似性英语dynamic similarity。在确认边界层厚度,判断进入效应是否可忽略时,也会用到沃默斯利数。

有些文献将沃默斯利数的平方称为斯托克斯数(Stokes number,[2],纪念乔治·斯托克斯斯托克第二问题英语Stokes second problem上的先驱贡献。

推导

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沃默斯利数(常用 来表示)定义如下

 

其中L是适当的长度尺度英语length scale(例如管路的直径)、ω是振动的角频率ν, ρ, μ分别是流体的黏度、密度及动黏度[3]。沃默斯利数一般会写成以下没有幂次的式子

 

在心血管系统中,脉动频率会随血管距脉动源(心脏)的距离而减少。不过脉动频率的变化在一个数量级(OoM)以内。在心血管系统中,沃默斯利数受脉动频率的影响不大。

特征长度(在血管系统中是血管直径)是系统的重要特征,也是决定沃默斯利数的重要因素。血管系统中,特征长度的变化会到达三个数量级,因此对沃默斯利数的影响会比脉动频率要大。利用频率、秥黏度及密度的标准值,可以估计人类血管的沃默斯利数:

 

以下是人类不同血管内的沃默斯利数:

血管 直径(米)  
大动脉 0.025 13.83
动脉 0.004 2.21
小动脉 3⋅10^-5 0.0166
微血管 8⋅10^-6 4.43⋅10^-3
小静脉 2⋅10-5 0.011
静脉 0.005 2.77
大静脉 0.03 16.6

沃默斯利数也可以用无因次的雷诺数(Re)及斯特劳哈尔数(St)表示:

 

沃默斯利数出现在脉动流的线性化纳维-斯托克斯方程(假定是不可压缩的层流)方程的解里。沃默斯利数表示瞬间或是振荡惯性力和剪力之间的比例。若 较小(1或是更小的值),表示脉动频率很低,在每一个周期中,都有足够时间让管路中的速度分布发展成抛物线分布,流和压力梯度几乎是同相位,因此可以配合瞬间压力梯度,用泊肃叶定律来近似。若 较大(10或是更大),表示脉动频率很大,速度分布会比较平,类似管塞的外形,而平均流会落后压力梯度约90度。沃默斯利数和雷诺数决定了动态相似性[4]

边界层厚度 和瞬间加速度有关。和沃默斯利数成反比[5]

 

其中L为特征长度。

生物流体力学

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考虑一个许多管路组成的网络系统,其中从大管径的管路,渐渐变成小管径的管路(例如血管系统),在管路系统中的频率、密度及黏度多半都是定值,而管路的管径会随位置而不同。在大血管内的沃默斯利数数值较大,随着血管分支,渐渐变细,沃默斯利数会变小,而且会变的非常小。在终末动脉(terminal arteries)处的沃默斯利数接近1,在小动脉、微血管及小静脉的沃默斯利数小于1。这区域比较不受惯性力的影响,流动是由黏性应力以及压力梯度所控制。这称为微循环[5]

以下是犬科动物在心率2 Hz时,各部位的沃默斯利数[5]

  • 升主动脉 — 13.2
  • 降主动脉 — 11.5
  • 腹主动脉 — 8
  • 股动脉 — 3.5
  • 颈动脉 — 4.4
  • 小动脉 —0.04
  • 微血管 — 0.005
  • 小静脉 — 0.035
  • 下腔静脉 — 8.8
  • 主肺动脉 — 15

有研究者提出普遍性的生物比例律(描述代谢率、寿命、长度和体重的幂次律关系)是为了让需要的能量最小化的结果,包括血管的分形结构,以及血液从大血管到小血管的沃默斯利数变小都是这类的例子[6]

参考资料

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  1. ^ Womersley, J.R. Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known. J. Physiol. March 1955, 127 (3): 553–563. PMC 1365740 . PMID 14368548. doi:10.1113/jphysiol.1955.sp005276. 
  2. ^ Pijush K. Kundu; Ira M. Cohen. Fluid Mechanics. Academic Press. 2010-01-20: 782–. ISBN 978-0-12-381400-5. 
  3. ^ Fung, Y. C. Biomechanics - Motion, flow, stress and growth. New York (USA): Springer-Verlag. 1990: 569. ISBN 9780387971247. 
  4. ^ Nichols, W. W., O'Rourke, M. F. McDonald's Blood Flow in Arteries 5th. London (England): Hodder-Arnold. 2005. ISBN 978-0-340-80941-9. 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 Fung, Y.C. Biomechanics Circulation. Springer Verlag. 1996: 571. ISBN 9780387943848. 
  6. ^ West GB, Brown JH, Enquist BJ. A general model for the origin of allometric scaling laws in biology. Science. 1997-04-04, 276 (5309): 122–6. PMID 9082983. doi:10.1126/science.276.5309.122.