泊松极限定理

在概率论中，泊松极限定理是指，在一定条件下，泊松分布可以用于近似二项分布，可以用来解释为什么泊松分布适合描述单位时间内随机事件发生的次数。这个定理是以法国数学家西梅翁·德尼·泊松的名字命名。该定理的一个推广形式是Le Cam定理。

定理陈述

设 $p_{n}$ 是一个 $[0,1]$ 中的实数列，如果 $np_{n}$ 收敛到一个有限极限 $\lambda$ ，那么

\lim _{n\to \infty }{n \choose k}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}=e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}

{\begin{aligned}\lim \limits _{n\rightarrow \infty }{n \choose k}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}&\simeq \lim _{n\to \infty }{\frac {n(n-1)(n-2)\dots (n-k+1)}{k!}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{k}+O\left(n^{k-1}\right)}{k!}}{\frac {\lambda ^{k}}{n^{k}}}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}\end{aligned}}

.

考虑到

\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}=e^{-\lambda }

以及

\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}=1

这就推出所需结论

{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\simeq {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}.

{\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}&={\frac {n!}{(n-k)!k!}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&\simeq {\frac {{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}{{\sqrt {2\pi \left(n-k\right)}}\left({\frac {n-k}{e}}\right)^{n-k}k!}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&={\sqrt {\frac {n}{n-k}}}{\frac {n^{n}e^{-k}}{\left(n-k\right)^{n-k}k!}}p^{k}(1-p)^{n-k}.\end{aligned}}

令 $n\to \infty$ 以及 $np=\lambda$ :

{\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}&\simeq {\frac {n^{n}\,p^{k}(1-p)^{n-k}e^{-k}}{\left(n-k\right)^{n-k}k!}}\\&={\frac {n^{n}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}e^{-k}}{n^{n-k}\left(1-{\frac {k}{n}}\right)^{n-k}k!}}\\&={\frac {\lambda ^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}e^{-k}}{\left(1-{\frac {k}{n}}\right)^{n-k}k!}}\\&\simeq {\frac {\lambda ^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}e^{-k}}{\left(1-{\frac {k}{n}}\right)^{n}k!}}.\end{aligned}}

因为当 $n\to \infty$ , $\left(1-{\frac {x}{n}}\right)^{n}\to e^{-x}$ ，所以：

{\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}&\simeq {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }e^{-k}}{e^{-k}k!}}\\&={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}\end{aligned}}

我们也可以通过使用二项分布的生成函数来证明这个定理：

G_{\operatorname {bin} }(x;p,N)\equiv \sum _{k=0}^{N}\left[{\binom {N}{k}}p^{k}(1-p)^{N-k}\right]x^{k}={\Big [}1+(x-1)p{\Big ]}^{N}

由二项式定理。令 $N\rightarrow \infty$ 的同时使 $pN\equiv \lambda$ 为常数，可以发现

\lim _{N\rightarrow \infty }G_{\operatorname {bin} }(x;p,N)=\lim _{N\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {\lambda (x-1)}{N}}\right]^{N}=\mathrm {e} ^{\lambda (x-1)}=\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {\mathrm {e} ^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\right]x^{k}

这是泊松分布的生成函数（第二个等式成立是由于指数函数的定义)。