势流

在流体动力学中，势流（Potential Flow）是指一道速度场是一标量函数（即速度势）的梯度的流。因此，势流的特点是无旋性速度场，这是对于几种应用的有效近似。势流的无旋性是因为梯度的旋度始终为零的关系。

在NACA 0012翼型周围的势流流线，攻角11°。

在不可压缩流的类型中，势流满足拉普拉斯方程与势理论。然而，势流也可用来描述可压缩流。势流近似发生于稳流与非稳流的模型上。

势流应用于：翼型、海浪、电渗流与地下水流的外部流场。对于有强大涡效应的流，势流近似并不适用。

特性与应用

在均匀湍流中，圆柱周围的不可压缩势流流线。

描述与特性

在流体动力学里以速度势φ这个时间与空间的函数来描述势流。流速v是向量场，等于速度势的梯度：

$\mathbf {v} =\nabla \varphi .$

有时则是被定义为：v = −∇φ，不过这里是使用没有减号的定义。从向量分析里可以得知梯度的旋度等于零：

$\nabla \times \nabla \varphi =\mathbf {0} ,$

故涡度，即是速度场v的旋度也会是零：

$\nabla \times \mathbf {v} =\mathbf {0} .$

这意味着势流是无旋流，此性质直接关系到势流的适用性。在流的区域里，涡度已经被知道是很重要的，如尾波与边界层，势流理论不能提供流的合理预测。庆幸的是，通常流的区域是很大的，且这些区域已经假定是无旋的，这就是为什么势流有很多的应用在。例如：航空机周围的气流、地下水流、声学、水波、电渗流。

不可压缩流

在不可压缩流的范围里，如液体或低马赫数的气体，但不包括声波，速度v的发散度为零：

$\nabla \cdot \mathbf {v} =0$

因此，速度势φ满足拉普拉斯方程式，

$\nabla ^{2}\varphi =0$

这个“$\nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla$”是拉普拉斯算子（有时写成Δ）。在这个情况中，可以以运动学来完全决定这道流：假定这道流是无旋与零散度的。动力学只能在之后作为应用：如翼型周围的气流使用伯努力定律计算。

在二维情形下，势流简化成非常简易的系统，可以用复分析来分析。

可压缩流

稳定流

势流理论也可以用在无旋可压缩流模型上。 全势方程式描述稳定流如下：

$\left(1-M_{x}^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{2}}}+\left(1-M_{y}^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y^{2}}}+\left(1-M_{z}^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}-2M_{x}M_{y}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x\,\partial y}}-2M_{y}M_{z}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y\,\partial z}}-2M_{z}M_{x}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z\,\partial x}}=0$

马赫数为：

$M_{x}={\frac {1}{a}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}$ $M_{y}={\frac {1}{a}}{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}$ $M_{z}={\frac {1}{a}}{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}$

这里的a是区域声速。流速v在这里也等于∇Φ，Φ是速度势。只要假设流是无旋的，全势方程式在亚音速、穿音速、超音速下的任何攻角皆有效。

在亚音速流或超音速流的状况中（不包括穿音速流与超高音速流），在小攻角与薄的物体下，可作而外的假设：速度势分成x方向的无扰流速V_∞与一个微扰速∇φ：

$\nabla \Phi =V_{\infty }x+\nabla \varphi .$

在这个情况，线性小微扰势方程式为全势方程式的近似：

$\left(1-M_{\infty }^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}=0$

其中M_∞ = V_∞ / a_∞是传入自由流的马荷数。此线性方程式比全势方程式更容易解出：借由一个简易的x方向座标伸缩，这可以带入拉普拉斯方程式重算。

声波

主条目：声音、声学和波动方程

小振幅的声波可以近似成下列势流模型：

${\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}={\overline {a}}^{2}\Delta \varphi$

这是对于速度势φ的线性波方程式。根据v = ∇φ，速度向量的震荡部分v与速度势相关。Δ是拉普拉斯算子，ā是声音在相同介质中的平均速度。注意，在此近似中，压力p与密度ρ的震荡部分每个都满足波方程式。

适用与局限

势流并不具有真实世界中的流的所有特性。例如势流不包括在自然中常发生的乱流。势流理论也不能应用在黏性内流。理察·费曼认为势流太不物理了而在流体中只有“干水”会遵守这个假设。

不可压缩势流也制造了一个无效的预测数，这称作达朗伯特悖论（d'Alembert's paradox）。

更精确的说，势流不能解释包含边界层在内的流的行为。

然而，在流体力学的许多分支中，了解势流是很重要的。尤其是在的简单的势流（称作基本流）如无涡流且点源拥有现成的解析解。这些解可以叠加来创造更复杂的流满足各种边界条件。这些流比整个流体力学更一致接近真实世界的流。此外，许多有价值的见解出现，当考虑到偏向（通常是轻微的）在观测到的流与对应的势流。

势流在飞机设计上有许多应用。例如计算流体动力学，一种技巧是连结一个边界层外的势流解到边界层内的边界层方程式解。

参考

书目

• Batchelor, G.K., An introduction to fluid dynamics, Cambridge University Press, 1973, ISBN 0-521-09817-3 
• Chanson, H., Applied Hydrodynamics: An Introduction to Ideal and Real Fluid Flows, CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, The Netherlands, 478 pages, 2009, ISBN 978-0-415-49271-3 

• Lamb, H., Hydrodynamics 6th, Cambridge University Press, 1994 [1932], ISBN 9780521458689 
• Milne-Thompson, L.M., Theoretical hydrodynamics 5th, Dover, 1996 [1968], ISBN 0486689700