海涅-康托尔定理

海涅-康托尔定理，以爱德华·海涅和乔治·康托尔命名，说明如果M是一个紧致度量空间，N是一个度量空间，则每一个连续函数

f : M → N,

都是均匀连续的。

特别地，如果f : [a,b] → R是一个连续函数，则它是一致连续的。

证明 1

假设f在紧度量空间M上连续，但不一致连续，则以下命题

$\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0$，使得对于所有M内的x和y，都有$d(x,y)<\delta \Rightarrow \rho (f(x),f(y))<\varepsilon$

的否定是：

$\exists \varepsilon _{0}>0$，使得$\forall \delta >0,\ \exists x,y\in M$，使得$\ d(x,y)<\delta$，且$\rho (f(x),f(y))\geq \varepsilon _{0}$。

其中d和$\rho$分别是度量空间M和N上的距离函数。

选择两个序列x_n和y_n，使得：

$d(x_{n},y_{n})<{\frac {1}{n}}$，且$\rho (f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \varepsilon _{0}$ (*)

由于度量空间是紧致的，根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，序列x_n存在一个收敛的子序列$x_{n_{k}}$，而$d(x_{n_{k}},y_{n_{k}})<{\frac {1}{n_{k}}}\to 0$，故$x_{n_{k}}$和$y_{n_{k}}$收敛于相同的点。又因为f是连续的，所以$f(x_{n_{k}})$和$f(y_{n_{k}})$收敛于相同的点，与(*)式矛盾。

证明 2

设 f 是从一个紧度量空间 (M,d_M) 到一个度量空间 (N,d_N) 的连续函数，欲证明 f 是一致连续的。

设给定了 $\varepsilon >0$, 于是对 $M$ 中的每一个点 $a$ 都存在一个与 $a$ 有关的 $\delta$, 使得

$d_{N}(f(x),f(a))<{\frac {\varepsilon }{2}},\forall x\in B_{M}(a;\delta ){\text{. }}$

考虑由半径为 $\delta /2$ 的球 $B_{M}(a;\delta /2)$ 构成的集族, 这族球覆盖 $M$, 而且因为 $M$ 是紧的, 所以这些球中有有限个也覆盖 $M$, 比方说

$M=\bigcup _{k=1}^{m}B_{M}\left(a_{k};{\frac {r_{k}}{2}}\right)\qquad {\text{(*)}}$

在任何一个两倍半径的球 $B_{M}\left(a_{k};r_{k}\right)$ 中, 我们有

$d_{N}\left(f(x),f\left(a_{k}\right)\right)<{\frac {\varepsilon }{2}},\forall x\in B_{M}\left(a_{k};r_{k}\right){\text{. }}$

设 $\delta =\min(r_{1}/2,\cdots ,r_{m}/2)$, 欲证明这个 $\delta$ 满足一致连续性定义中的要求.

对 $M$ 中的两个点 $x$ 和 $y$ 满足条件 $d_{M}(x,y)<\delta$, 由 ${\text{(*)}}$, 有某个球 $B_{M}\left(a_{k};r_{k}/2\right)$ 包含 $x$, 所以

$d_{N}\left(f(x),f\left(a_{k}\right)\right)<{\frac {\varepsilon }{2}}.$

由三角不等式可得

$d_{M}\left(y,a_{k}\right)\leqslant d_{M}(y,x)+d_{M}\left(x,a_{k}\right)<\delta +{\frac {r_{k}}{2}}\leqslant {\frac {r_{k}}{2}}+{\frac {r_{k}}{2}}=r_{k}.$

因而, $y\in B_{M}\left(a_{k};r_{k}\right)$, 所以也有 $d_{N}\left(f(y),f\left(a_{k}\right)\right)<\varepsilon /2$. 再次使用三角不等式就可以发现

$d_{N}(f(x),f(y))\leqslant d_{N}\left(f(x),f\left(a_{k}\right)\right)+d_{N}\left(f\left(a_{k}\right),f(y)\right)<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon {\text{.}}$

外部链接

• Heine–Cantor theorem. PlanetMath. 
• Proof of Heine–Cantor theorem. PlanetMath.