准素理想

在交换代数中，一个交换环 $R$ 里的理想 $Q$ 若满足 $R/Q\neq (0)$，而且其中每个零除数都是幂零的，则称之为准素理想。另一种等价的刻画是：对任意 $a,b\in R$，若 $ab\in Q$，则或有 $a\in Q$，或 $\exists n\,b^{n}\in Q$。

若设 $P$ 为 $Q$ 的根（必为素理想），则也称 $Q$ 为P-准素理想。

任何素理想都是准素理想。在整数环 $\mathbb {Z}$ 中，准素理想对应到素数的幂。

一般而言，对任何 $R$-模 $M$，定义

$\mathrm {Ass} (M):=\{P\in \mathrm {Spec} (R):\exists m\in M,P=\mathrm {ann} (m)\}$

其中 $\mathrm {ann} (m):=\{r\in R:rm=0\}$。

对于子模 $N\subset M$，若 $\mathrm {Ass} (M/N)$ 只有一个元素 $P$，则称 $N$ 为 $P$-准素子模。取 $R=M$，便回到先前的定义。

参见

• 准素分解

文献

• David Eisenbud, Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, New York, 1995. xvi+785 pp. ISBN 0-387-94268-8; ISBN 0-387-94269-6 MR1322960
• V. T. Markov, Primary Ideal, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 

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