滤波器

滤波器可以指：

• 电子滤波器，专门用于去除信号中不想要的成分或者增强所需成分的电子装置。
• 一种能过滤特定频率讯号的器材，可以将讯号中某个频率范围的组成泛音去掉。有以下应用元件：
  • 低通滤波器：容许低频信号通过，但减弱（或减少）频率高于截止频率的信号通过。用在绘制长期走势或均化。
  • 高通滤波器：容许高频信号通过、但减弱（或减少）频率低于截止频率的信号通过。强调细节。
  • 带通滤波器：高通滤波器与低通滤波器的组合。
  • 带阻滤波器：指能通过大多数频率分量、但将某些范围的频率分量衰减到极低水准的滤波器
  • 全通滤波器：产生时延效果，不会有梳状滤波器的共振。
  • 原子线滤波器：利用原子蒸气共振过滤电磁波的超窄带滤波器。
• 机械滤波器

均衡器(Equalizer)

• 均衡器是常见的滤波器，可以将失真的讯号恢复成原始讯号、补偿如多路径问题引起的失真讯号

• 假设接收到的讯号$y[n]=x[n]*k[n]$，其中$x[n]$是原始讯号，$k[n]$是系统的影响，表示系统对讯号的影响，例如模糊系统$k[n]=c*exp(-{\sigma }n^{2})$

均衡器$h[n]$将收到的讯号还原，$x[n]=y[n]*h[n]$，在频率域的均衡器$H(F)={\frac {1}{K(F)}}$

当系统同时受到噪音$m[n]$干扰时，接收到的讯号:$y[n]=x[n]*k[n]+m[n]$

经过傅立叶转换$Y(F)=X(F)K(F)+M(F)$

透过均衡器后$H(F)Y(F)=X(F)H(F)K(F)+H(F)M(F)=X(F)+{\frac {M(F)}{K(F)}}$

当如果系统影响$K(F)$过小趋近于零，会导致噪音的影响非常大，因此修改均衡器的设计结合Wiener filter，均衡器公式如下

$H(F)={\frac {1}{{\frac {1}{K^{*}(F)}}{\frac {E(|M(F)|^{2})}{E(|X(F)|^{2})}}+K(F)}}$，其中$E$是mean

$H(F)={\frac {1}{{\frac {c}{K^{*}(F)}}+K(F)}}$，其中$c={\frac {1}{SNR}}$，$SNR$是讯号噪声比(signal-to-noise ratio)

• 讯号传递有另一种情况是发射端与接受端之间有多条的传递路径(multiple path problem)

$k[n]=\alpha _{1}\delta [n-\tau _{1}]+\alpha _{2}\delta [n-\tau _{2}]+\alpha _{3}\delta [n-\tau _{3}]+...$

$y[n]=x[n]*k[n]=\alpha _{1}x[n-\tau _{1}]+\alpha _{2}x[n-\tau _{2}]+\alpha _{3}x[n-\tau _{3}]+...$

使用Z转换，$Y[Z]=(\alpha _{1}Z^{-\tau _{1}}+\alpha _{2}Z^{-\tau _{2}}+\alpha _{3}Z^{-\tau _{3}}+...)X[Z]$

在这个情况下均衡器$H(Z)={\frac {1}{\alpha _{1}z^{-\tau _{1}}+\alpha _{2}z^{-\tau _{2}}+\alpha _{3}z^{-\tau _{3}}+...}}$

但$\tau _{i},\alpha _{i}$在实际应用上不容易估计且在通讯系统上会随环境以及其他因素改变，另外当$H(Z)$的分母为零会使得均衡器不稳定，因此通常会使用homomorphic signal processing取代均衡器以利处理多路径的问题。