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基点

（重定向自焦平面）

基点（英语：cardinal points）是高斯光学中位于旋转对称（英语：Rotational symmetry）的焦点光学系统的光轴上的三对点，它们分别是焦点 、主点和节点[1]。在理想光学系统，图像大小、位置和方向等基本成像属性完全由基点的位置决定；事实上，只需要四点：焦点和主要或顶点。在实践中可以实现的唯一理想光学系统是平面镜[2]。然而，基点被广泛用于近似真实光学系统的行为。基点提供了一种分析简化具有许多元件系统的方法，允许通过简单的计算近似地确定系统的成像特性。

解释 编辑

 
厚透镜在空气中的基点
F， F'是前后焦点，
P，P' 是前后主点，
V，V'是前后表面顶点。

基点位于光学系统的光轴上。在近轴近似中，每个点都由对通过该光学系统的射线影响来定义。对轴近似假设光线相对于光轴以浅角度行进，因此 

  and  [3]。

孔径效应被忽略：在下面的讨论中，不考虑不通过系统孔径光圈的光线。

焦点和焦平面 编辑

参见：焦点和焦长

根据定义，光学系统的前“焦点”具有这样的性质：任何穿过它的光线都会从平行于光轴的系统中出来。系统的实（或后）焦点具有相反的性质：平行于光轴进入系统的光线经过聚焦，从而穿过后焦点。

 
以相同角度离开物体的光线，在后焦平面处以相同的角度交叉。

前和实（或后）“焦平面”定义为垂直于光轴的平面，其穿过前和后焦点。离光学系统无限远的物体在后焦平面形成一个图像。对于距离有限的物体，影像是在不同的位置形成的，但使物体彼此平行的光线在后焦平面交叉。

 
在后焦平面上使用孔径进行角度过滤。

后焦平面上的膜片（英语：Diaphragm (optics)）或"停止"可用于按角度过滤光线，因为：

  1. 它只允许以足够小的角度（相对于光轴）发射的光线通过。（无限小的光圈只允许沿光轴发射的光线通过。）
  2. 无论光线来自物体的哪个位置，只要从物体发射的角度足够小，光线就会穿过光圈。

请注意，光圈必须位于光轴的中心，这样才能如图所示工作。在焦平面上使用足够小的孔径将使透镜偏心。

同样的，可以通过在透镜的前焦平面（或整个透镜内的透镜组）放置一个光圈来过滤透镜输出侧允许的角度范围。这对于配备CCD感测器DSLR相机非常重要。这些感测器中的像数对直接照射到它们的光线比对以一定角度照射的光线更敏感。不控制探测器入射角的镜头将在影像中产生像素晕影。

主平面和主点 编辑

 
各种透镜形状和主平面的位置。（第 8 个图中有一个错误：“r1”应为 +。）

这两个主平面具有这样的特性：从透镜出来的光线似乎已经穿过后主平面，距离轴的距离与从透镜前面看，与光线似乎穿过前主平面的距离相同。这意味着可以把透镜看作所有折射都发生在主平面上，从一个主平面到另一个主平面的线性放大倍率为+1。主平面对于定义系统的光学特性至关重要，因为物体和影像与前后主平面的距离决定了系统的放大率。“主点”是主平面与光轴相交的点。

如果光学系统周围的介质的折射率为1（例如，空气或真空），则从主平面到其相应焦点的距离只是系统的焦距。在更一般的情况下，到焦点的距离是焦距乘以介质的折射率。

对于空气中的薄透镜，主平面都位于透镜的位置。它们穿过光轴的点有时被误导性地称为透镜的“光学中心”。但是，请注意，对于真实的镜头，主平面不一定穿过透镜的中心，并且通常可能根本不位于镜头内部。

节点 编辑

 
N, N'是厚透镜的前后节点。

前节点和后节点具有这样的特性：瞄准其中一个节点的光线将被透镜折射，使得它看起来像是来自另一个节点，并且相对于光轴有相同的角度（两节点之间的角放大倍率为 +1。）。因此，节点对角度的作用与主平面对横向距离的作用相同。如果光学系统两侧的介质相同（通常是空气），则前后节点分别与前后主点重合。

1845年，约翰·李斯特（Johann Listing）首次描述了节点，以评估眼睛，其中图像是在流体中形成的。随着时间的推移，人们发现，如果在远处物体的视角下，通过晶状体的后顶点画一条线，那么它将指向视网膜上的影像位置，即使对于非常大的角度也是如此[4][5]。这条线大约穿过第二个节点。这可以用来确定放大倍数，或量测视网膜位置。眼睛的高度弯曲结构会对通过节点的光线产生线性角度缩放，即使在近轴近似不成立且节点通常不相关的角度。

节点在摄影中被广泛误解，通常认为光线在节点处"相交"，镜头的虹膜光膈膜（英语：Diaphragm (optics)）位于此处，这是全景摄影的正确枢轴点，以避免视差的误差[6][7][8]。这些说法通常源于对相机镜头光学的混淆，以及系统的节点和其它基点之间的混淆。（对于旋转相机进行全景摄影点的更好选择可以显示为系统入射光瞳（英语：Entrance pupil）的中心[6][7][8]。另一方面，具有固定胶片位置的摆动镜头相机围绕后节点旋转镜头，以稳定胶片上的影像[8][9]。）

表面顶点 编辑

在光学中，“表面顶点”是每个光学表面与光轴相交的点。它们之所以重要，主要是因为它们是光学元件位置的实际可量测参数，因此必须知道基点相对于顶点的位置，以描述实体系统。

在解剖学中，眼睛水晶体的表面顶点被称为晶状体的前极和后极[10]。

将光学系统建模为数学变换 编辑

在几何光学中，对于每个进入光学系统的射线，都会出现（对应）一条唯一的光线。用数学术语来说，光学系统执行转换（英语：Transformation (mathematics)），将每个物体射线映射到一条影像射线[1]。物体射线及其相关的影像射线被称为相互共轭。这个术语也适用于相应的对象和影像点和平面对。物体和影像射线和点被认为位于两个不同的光学空间（英语：Optical space）中，即物体空间和影像空间；也可以使用额外的中间光学空间。

旋转对称光学系统；光轴、轴向点和子午平面 编辑

如果光学系统的成像特性通过围绕某个轴的任意旋转而保持不变，则该光学系统是旋转对称的。这个（唯一的）旋转对称轴是系统的光轴。光学系统可以使用平面镜折叠； 如果系统在展开时具有旋转对称性，则仍被认为是旋转对称的。光轴上的任何点（在任何空间中）都是“轴向点”。

旋转对称性大大简化了光学系统的分析，否则必须进行三维分析。旋转对称允许通过仅考虑限制在包含光轴的单个横向平面上的光线来分析系统。这样的平面被称为“子午平面”；它是通过系统的横截面。

理想旋转对称光学成像系统 编辑

一个“理想”的旋转对称光学成像系统必须满足三个标准：

  1. "任何“起源”于物体的所有光线都会聚到一个影像点（成像为“无像散”）。
  2. 垂直于光轴的物体平面是共轭图像平面（英语：Conjugate focal plane）与垂直于该轴的像平面。
  3. 限制在垂直于轴的平面上的物件影像在几何上与该物件相似。

在某些光学系统中，成像对于一个或几个目标点是无像散的，但要成为理想的系统成像，必须对每个目标点无像散。

与数学中的直线不同，光线在两个方向上都会无限延伸到无穷远。当光线位于其应用的光学系统部分时，它们是真实的，而在其他地方则是虚拟的。例如，物体光线在光学系统的物体一侧是真实的。在无像散成像中，与物体空间中任何特定点相交的物体光线必须与与影像空间中共轭点相交的影像光线共轭。结果是，物体射线上的每个点都与共轭成像射线上的某个点共轭。

几何相似性意味着影像是物体的比例模型。对影像的方向没有限制。影像可以反转或以其它方式相对于物件旋转。

聚焦和非聚焦系统，焦点 编辑

在无焦系统中，平行于光轴的物体光线与平行于光轴的图像光线共轭。这类系统没有焦点（因此称为无焦），也缺乏主点和节点。如果平行于光轴的物体光线与与光轴相交的成像光线共轭，则系统是聚焦的。影像射线与光轴的交点是影像空间中的焦点F'。聚焦系统也有一个轴向点F，使得通过F的任何光线都与平行于光轴的成像光线共轭。F是系统的物体空间焦点。

转换 编辑

物体空间和影像空间之间的转换完全由系统的基点定义，这些基点可用于将物体上的任何点映射到其共轭影像点。

相关条目 编辑

注解和参考资料 编辑

  1. ^ 1.0 1.1 Greivenkamp, John E. Field Guide to Geometrical Optics. SPIE Field Guides vol. FG01. SPIE. 2004: 5–20. ISBN 0-8194-5294-7. 
  2. ^ Welford, W.T. Aberrations of Optical Systems. CRC. 1986. ISBN 0-85274-564-8. 
  3. ^ Hecht, Eugene. Optics 4th. Addison Wesley. 2002: 155. ISBN 0-321-18878-0. 
  4. ^ Simpson, MJ. Nodal points and the eye. Applied Optics. 2022, 61 (10): 2797–2804. PMID 35471355. S2CID 247300377. doi:10.1364/AO.455464. 
  5. ^ Simpson, MJ. Scaling the retinal image of the wide-angle eye using the nodal point. Photonics. 2021, 8 (7): 284. doi:10.3390/photonics8070284  . 
  6. ^ 6.0 6.1 Kerr, Douglas A. The Proper Pivot Point for Panoramic Photography (PDF). The Pumpkin. 2005 [2006-03-05]. （原始内容 (PDF)存档于2006-05-13）. 
  7. ^ 7.0 7.1 van Walree, Paul. Misconceptions in photographic optics. [2007-01-01]. （原始内容存档于2015-04-19）.  Item #6.
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 Littlefield, Rik. Theory of the "No-Parallax" Point in Panorama Photography (PDF). ver. 1.0. 2006-02-06 [2007-01-14]. （原始内容存档 (PDF)于2008-12-27）. 
  9. ^ Searle, G.F.C. 1912 Revolving Table Method of Measuring Focal Lengths of Optical Systems in "Proceedings of the Optical Convention 1912" pp. 168–171.
  10. ^ Gray, Henry. Anatomy of the Human Body: 1019. 1918 [2009-02-12]. （原始内容存档于2009-02-06）. 

外部链接 编辑

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