热带几何数学的一支,首先由巴西数学家兼计算机科学家伊姆雷·西蒙于1980年代发展;“热带”一词源于部分法国数学家对巴西的刻板印象。大略言之,热带几何可谓是分片线性化的代数几何。它在计数代数几何中有重要的应用。

基本定义

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定义热带半环(又称极小-加法代数,见下述定义)为  ,其运算为:

 
 

此半环中的单项式不外就是线性映射;而多项式是对若干个线性映射取极小值,因此是个分片线性凹函数。称之为热带多项式。一个热带多项式   的非光滑点集合称为热带超曲面。可以证明:

  1. 热带超曲面即是满足“零张力条件”的有理多面体复形。
  2.  皮瑟级数环,这是一个代数封闭的非阿基米德域。热带超曲面即   上的变形体

上述两种刻划提供了组合学与代数学之间的对应。给定一个合适的代数问题,我们可将之转化为较易处理的组合问题以求解。

一如代数几何中的情形,热带超曲面的定义可以推广到热带簇:取   中的理想  ,定义相应的热带簇    的变形体。可以证明  ,而且可取有限并集。

目前已有较深入研究的是平面上的热带几何。许多代数几何中的古典定理皆有相应的版本。

外部链接及相关影片

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