状态转移矩阵

状态转移矩阵（state-transition matrix）是控制理论中的矩阵，是时间$t$和初始时间$t_{0}$的函数，可以将时间$t_{0}$的状态向量$x$和此矩阵相乘，得到时间$t$时的状态向量$x$。状态转移矩阵可以用来找线性动态系统的通解。

线性系统的解

状态转移矩阵用来找以下形式线性系统在状态空间下的解：

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t),\mathbf {x} (t_{0})=\mathbf {x} _{0}$,

其中$\mathbf {x} (t)$为系统状态，$\mathbf {u} (t)$为输入信号，而$\mathbf {x} _{0}$为时间$t_{0}$时的初始条件。利用状态转移矩阵$\mathbf {\Phi } (t,\tau )$，其解如下：

$\mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {x} (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {B} (\tau )\mathbf {u} (\tau )d\tau$

第一项为零输入响应（zero-input response），第二项为零状态响应（zero-state response）。

Peano-Baker级数解

更广义的状态转移矩阵可以用Peano-Baker级数解求得

$\mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {I} +\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\int _{\tau }^{\sigma _{2}}\mathbf {A} (\sigma _{3})\,d\sigma _{3}\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+...$

其中$\mathbf {I}$为单位矩阵。此矩阵均匀收敛到一个存在而且唯一的解，而且是绝对收敛。

其他性质

状态转移矩阵$\mathbf {\Phi } (t,\tau )$可以表示为下式

$\mathbf {\Phi } (t,\tau )\equiv \mathbf {U} (t)\mathbf {U} ^{-1}(\tau )$

其中$\mathbf {U} (t)$为基础矩阵，满足下式

${\dot {\mathbf {U} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {U} (t)$

状态转移矩阵是$n\times n$的矩阵，是会映射到本身的线性映射。若$\mathbf {u} (t)=0$，再给定任意时间$\tau$下的状态$\mathbf {x} (\tau )$，另一个时间$t$的状态可由以下映射求得

$\mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {x} (\tau )$

状态转移矩阵恒满足以下的关系：

${\frac {\partial \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}{\partial t}}=\mathbf {A} (t)\mathbf {\Phi } (t,t_{0})$ and

$\mathbf {\Phi } (\tau ,\tau )=I$对于所有的$\tau$，其中$I$为单位矩阵。

$\mathbf {\Phi }$也有以下的性质：

1.	$\mathbf {\Phi } (t_{2},t_{1})\mathbf {\Phi } (t_{1},t_{0})=\mathbf {\Phi } (t_{2},t_{0})$
2.	$\mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )=\mathbf {\Phi } (\tau ,t)$
3.	$\mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )\mathbf {\Phi } (t,\tau )=I$
4.	${\frac {d\mathbf {\Phi } (t,t_{0})}{dt}}=\mathbf {A} (t)\mathbf {\Phi } (t,t_{0})$

若系统是时不变系统，可以将$\mathbf {\Phi }$定义为

$\mathbf {\Phi } (t,t_{0})=e^{\mathbf {A} (t-t_{0})}$

在时变系统的例子中，可能有许多不同的函数满足上述条件，而解和系统的结构有关。在分析时变系统的解之前，需要先确定其状态转移矩阵。

注解

• Baake, M.; Schlaegel, U. The Peano Baker Series 275. 2011: 155–159. 
• Brogan, W.L. Modern Control Theory. Prentice Hall. 1991. ISBN 0-13-589763-7. 

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