狄利克雷定理

此条目的主题是数论中的定理。关于数学其他领域的狄利克雷定理，请见“狄利克雷定理 (消歧义)”。

狄利克雷定理是狄利克雷于1837年发表的数论中关于质数在同余类中分布的定理：对于任意互质正整数对$(r,N)$，模$N$同余$r$的质数集合$\{x|r\equiv x{\bmod {N}};x\ is\ prime\}$相对质数集合$\{x|x\ is\ prime\}$的密度为${\frac {1}{\phi (N)}}$。

定理内容

狄利克雷定理表明：

若 $r,N$ 互质，则$\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x;N,r)}{\pi (x)}}={\frac {1}{\phi (N)}}$

其中，$\phi (N)$为欧拉函数，$\pi (x)$为质数计数函数，$\pi (x;N,r)$为模$N$同余$r$集合中小于$x$的质数个数。

质数在同余类中的分布

狄利克雷定理揭示了质数在同余类中的分布。

形象地说，在模$N$同余类中，除去不包含或仅包含有限个质数的同余集合，质数的分布是大致均匀的。

• 以$N=6$为例：共有$[0],[1],[2],[3],[4],[5]$共$6$个模$N$同余集合，其中同余集合$[0],[2],[3],[4]$不包含或只含有限个质数，剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合$[1],[5]$中：

在不大于$10,000$的质数中，质数在$[1],[5]$中的比率分别为$49.67\%$和$50.16\%$；

在不大于$100,000$的质数中，质数在$[1],[5]$中的比率分别为$49.88\%$和$50.10\%$；

在不大于$1,000,000$的质数中，质数在$[1],[5]$中的比率分别为$49.98\%$和$50.02\%$。

• 以$N=8$为例：共有$[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7]$共$8$个模$N$同余集合，其中同余集合$[0],[2],[4],[6]$不包含或只含有限个质数，剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合$[1],[3],[5],[7]$中：

不大于$10,000$的质数中，质数在$[1],[3],[5],[7]$中的比率分别为$23.98\%,25.28\%,25.53\%$和$25.12\%$；

在不大于$100,000$的质数中，质数在$[1],[3],[5],[7]$中的比率分别为$24.85\%,25.12\%,25.01\%$和$25.01\%$；

在不大于$1,000,000$的质数中，质数在$[1],[3],[5],[7]$中的比率分别为$24.91\%,25.04\%,25.00\%$和$25.06\%$；

相关定理

• 欧几里得证明了有无限个质数，即有无限多个质数的形式如$2n+1$。
• 算术级数的质数定理：若$a,d$互质，则有

$\sum _{p\leq x\quad p\equiv a{\pmod {d}}}1\sim {\frac {1}{\phi (d)}}{\frac {x}{\ln(x)}}$。

其中φ是欧拉函数。取$d=2$，可得一般的质数定理。

• 林尼克定理说明了级数中最小的质数的范围：算术级数$a+nd$中最小的质数少于$cd^{L}$，其中$L$和$c$均为常数，但这两个常数的最小值尚未找到。
• 柴伯塔瑞夫密度定理是在狄利克雷定理在伽罗瓦扩张的推广。

历史

欧拉曾以$\sum {\frac {1}{p}}=\infty$，来证明质数有无限个。约翰·彼得·狄利克雷得以灵感，借助证明$\sum _{p\equiv a{\pmod {d}}}{1/p}=\infty$来证明算术级数中有无限个质数。这个定理的证明中引入了狄利克雷L函数，应用了一些解析数学的技巧，是解析数论的重要里程碑。

推广

这个定理的一些推广形式，但是都还只是未被证明的猜想而已，并不是定理。

• 布尼亚科夫斯基猜想，推广至>=2次的多项式
• 狄克森猜想，推广至>=2个多项式
• 欣策尔假设H，上述两个推广合并

参考

• T. M. Apostol (1976). Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90163-9. Chapter 7