自由（没有交互作用）的狄拉克场遵守反正则对易关系 ，数学上使用到反交换子
{
a
,
b
}
=
a
b
+
b
a
{\displaystyle \{a,b\}=ab+ba}
交换子
[
a
,
b
]
=
a
b
−
b
a
{\displaystyle [a,b]=ab-ba}
费米-狄拉克统计 ，并且也能推导出泡利不相容原理 ：两个相同的费米子不能处于相同的量子态。
狄拉克场表示成
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
狄拉克方程式 ：
(
i
γ
μ
∂
μ
−
m
)
ψ
(
x
)
=
0.
{\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi (x)=0.\,}
其中
γ
μ
{\displaystyle \gamma ^{\mu }\,}
γ矩阵 （或称作狄拉克矩阵 ），m 代表质量。这个方程式最简单的解为平面波
ψ
1
(
x
)
=
u
(
p
)
e
−
i
p
.
x
{\displaystyle \psi _{1}(x)=u(p)e^{-ip.x}\,}
ψ
2
(
x
)
=
v
(
p
)
e
i
p
.
x
{\displaystyle \psi _{2}(x)=v(p)e^{ip.x}\,}
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
ψ
(
x
)
=
∫
d
3
p
(
2
π
)
3
1
2
E
p
∑
s
(
a
p
s
u
s
(
p
)
e
−
i
p
⋅
x
+
b
p
s
†
v
s
(
p
)
e
i
p
⋅
x
)
.
{\displaystyle \psi (x)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2E_{p}}}}\sum _{s}\left(a_{\textbf {p}}^{s}u^{s}(p)e^{-ip\cdot x}+b_{\textbf {p}}^{s\dagger }v^{s}(p)e^{ip\cdot x}\right).\,}
a
{\displaystyle a\,}
b
{\displaystyle b\,}
s
{\displaystyle s\,}
协变性 。由于
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)\,}
算符 ，每个傅立叶基底的系数也必须是算符。因此，
a
p
s
{\displaystyle a_{\textbf {p}}^{s}}
b
p
s
†
{\displaystyle b_{\textbf {p}}^{s\dagger }}
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)\,}
ψ
(
y
)
†
{\displaystyle \psi (y)^{\dagger }}
{
ψ
a
(
x
)
,
ψ
b
†
(
y
)
}
=
δ
(
3
)
(
x
−
y
)
δ
a
b
,
{\displaystyle \{\psi _{a}({\textbf {x}}),\psi _{b}^{\dagger }({\textbf {y}})\}=\delta ^{(3)}({\textbf {x}}-{\textbf {y}})\delta _{ab},}
借由将
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)\,}
ψ
(
y
)
{\displaystyle \psi (y)\,}
{
a
p
r
,
a
q
s
†
}
=
{
b
p
r
,
b
q
s
†
}
=
(
2
π
)
3
δ
3
(
p
−
q
)
δ
r
s
,
{\displaystyle \{a_{\textbf {p}}^{r},a_{\textbf {q}}^{s\dagger }\}=\{b_{\textbf {p}}^{r},b_{\textbf {q}}^{s\dagger }\}=(2\pi )^{3}\delta ^{3}({\textbf {p}}-{\textbf {q}})\delta ^{rs},\,}
于非相对论系统中的创造与湮灭算符相类似，从这个代数关系得到了这样的物理诠释：
a
p
s
†
{\displaystyle a_{\textbf {p}}^{s\dagger }}
p
{\displaystyle {\textbf {p}}\,}
b
q
r
†
{\displaystyle b_{\textbf {q}}^{r\dagger }}
q
{\displaystyle {\textbf {q}}\,}
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)\,}
ψ
¯
=
d
e
f
ψ
†
γ
0
{\displaystyle {\bar {\psi }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}
有了对于场及其共轭的了解，我们便能试着架构出劳仑兹协变性 的场。最单纯的量为
ψ
¯
ψ
{\displaystyle {\overline {\psi }}\psi \,}
ψ
¯
=
ψ
†
γ
0
{\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}
ψ
¯
γ
μ
∂
μ
ψ
{\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi }
由于这些量的线性组和同样符合劳仑兹协变性，很自然地得到了狄拉克场的拉格朗日密度 ，并且其欧拉－拉格朗日方程 必须回到狄拉克方程式 。
L
D
=
ψ
¯
(
i
γ
μ
∂
μ
−
m
)
ψ
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi \,}
这样的表示将指标隐藏了起来。完整的表示如下：
L
D
=
ψ
¯
a
(
i
γ
a
b
μ
∂
μ
−
m
I
a
b
)
ψ
b
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\bar {\psi }}_{a}(i\gamma _{ab}^{\mu }\partial _{\mu }-m\mathbb {I} _{ab})\psi _{b}\,}
由
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
传播子 ：
D
F
(
x
−
y
)
=
⟨
0
|
T
(
ψ
(
x
)
ψ
¯
(
y
)
)
|
0
⟩
{\displaystyle D_{F}(x-y)=\langle 0|T(\psi (x){\bar {\psi }}(y))|0\rangle }
我们定义狄拉克场的时间排序如下，当中的负号来自于其反对易关系的性质：
T
(
ψ
(
x
)
ψ
¯
(
y
)
)
=
d
e
f
θ
(
x
0
−
y
0
)
ψ
(
x
)
ψ
¯
(
y
)
−
θ
(
y
0
−
x
0
)
ψ
¯
(
y
)
ψ
(
x
)
{\displaystyle T(\psi (x){\bar {\psi }}(y))\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \theta (x^{0}-y^{0})\psi (x){\bar {\psi }}(y)-\theta (y^{0}-x^{0}){\bar {\psi }}(y)\psi (x)}
对上列的式子作平面波的展开，得到：
D
F
(
x
−
y
)
=
∫
d
4
p
(
2
π
)
4
i
(
p
/
+
m
)
p
2
−
m
2
+
i
ϵ
e
−
i
p
⋅
(
x
−
y
)
{\displaystyle D_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i(p\!\!\!/+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}}
在此我们用上了费曼斜线标记 。这个式子相当合理，因为系数
i
(
p
/
+
m
)
p
2
−
m
2
{\displaystyle {\frac {i(p\!\!\!/+m)}{p^{2}-m^{2}}}}
即为狄拉克方程式中作用在
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)\,}
标量场 的费曼传播子也具有相同的性质。由于所有合理的观测量（例如能量、电荷、粒子数等）都由偶数的狄拉克场所构成，两个观测量的对易关系在光锥 外为零。就如同我们从量子力学 中学习到的，两的可交换的观察量可以同时被观测。因此，我们确定了狄拉克场的劳仑兹协变性 ，并维持了因果律 。
而更复杂、包含交互作用的场论（汤川理论 （Yukawa theory）或量子电动力学 ）同样可以微扰 或非为扰方法作分析。
在粒子物理标准模型 中，狄拉克场扮演很重要的要素。
Edwards, D. (1981). The Mathematical Foundations of Quantum Field Theory: Fermions, Gauge Fields, and Super-symmetry, Part I: Lattice Field Theories, International J. of Theor. Phys., Vol. 20, No. 7.
Peskin, M and Schroeder, D. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory, Westview Press. (See pages 35-63.)
Srednicki, Mark (2007). Quantum Field Theory （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）ISBN 978-0521864497 .
Weinberg, Steven (1995). The Quantum Theory of Fields, (3 volumes) Cambridge University Press. 
![{\displaystyle [a,b]=ab-ba}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23bf78c808a8f58515d59d520bdfac43cf80114f)
