毕达哥拉斯平均

毕达哥拉斯平均是三种平均数的总称，分别是算术平均数（A）、几何平均数（G）及调和平均数（H）。其定义如下：

• $A(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {1}{n}}(x_{1}+\cdots +x_{n})$
• $G(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}$
• $H(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}$

二个数a及b的平方平均数及三种毕达哥拉斯平均的图示。调和平均数标示为H，几何平均数标示为G，算术平均数标示为A，平方平均数标示为Q

上述的任一个平均数都满足以下性质：

• $M(x,x,\ldots ,x)=x$
• $M(bx_{1},\ldots ,bx_{n})=bM(x_{1},\ldots ,x_{n})$

若所有$x_{i}$均为正，三个平均数之间有以下的顺序关系：

$A(x_{1},\ldots ,x_{n})\geq G(x_{1},\ldots ,x_{n})\geq H(x_{1},\ldots ,x_{n})$

其中的等式成立当且仅当所有的$x_{i}$都相等。上式的不等式即为平均数不等式，也是幂平均不等式中的一个特例。

参照

• 算术-几何平均数

外部链接

• Pythagorean means on MathWorld （页面存档备份，存于互联网档案馆）