矩问题

数学上，矩问题询问是否可以由一个测度 μ 的矩序列

$m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)\,$

确定该测度。更一般地，亦可考虑序列

$m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }M_{n}(x)\,d\mu (x)\,.$

其中 M_n 为任意一列函数。

简介

最典型的例子中，μ 取为实数线上的测度，并取 M 为序列 {xⁿ : n = 0, 1, 2, ... }. 此种矩问题源自概率论，其意义为：是否存在一个概率测度，其平均数、方差等组成的序列等于给定的序列，又及该测度是否唯一。

矩问题当中，有三种以人名命名，分别为：允许 μ 的支撑集为全条实轴的Hamburger 矩问题、支撑集为 [0,+∞) 的斯蒂尔吉斯矩问题，以及支撑集为有界闭区间（不失一般性可设为 [0, 1]) 的豪斯多夫矩问题。

存在性

一个序列 m_n 为某个测度 μ 的矩，当且仅当其汉克尔矩阵 H_n,

$(H_{n})_{ij}=m_{i+j}\,,$

为半正定。 这是因为一个半正定的汉克尔矩阵对应一个线性泛函 $\Lambda$，其满足 $\Lambda (x^{n})=m_{n}$ 和 $\Lambda (f^{2})\geq 0$（即：当作用于多项式的平方和时，其结果非负）。假设 $\Lambda$ 可以扩展成 $\mathbb {R} [x]^{*}$ 的元素。在单变量的情况下，非负的多项式必为若干个多项式的平方和，故线性泛函 $\Lambda$于非负多项式处均取非负值。由 Haviland (1936)，该线性泛函有测度形式，亦即 $\Lambda (x^{n})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}d\mu$. 在有界区间 [a, b] 上，测度 $\mu$ 的存在性也有类似形式的充要条件。

可用以下方法证明上述结论。设线性泛函 $\scriptstyle \varphi$ 将多项式

$P(x)=\sum _{k}a_{k}x^{k}$

映到

$\sum _{k}a_{k}m_{k}.$

若 m_kn 为以 [a, b] 为支撑的测度 μ 的矩，则

φ(P) ≥ 0 对任意在 [a, b] 上非负的多项式 P 都成立。

(1)

反之，如果 (1) 为真，则可运用M. 里斯扩展定理将 $\phi$ 扩展成 C₀([a, b]) 上的线性泛函，其满足

$\varphi (f)\geq 0\quad \forall f\in C_{0}([a,b]),\;f\geq 0$.

(2)

由里斯表示定理，(2) 成立当且仅当存在以 [a, b] 为支撑的测度 μ ，使得

$\varphi (f)=\int f\,d\mu$

对任意的 f ∈ C₀([a, b]) 成立。

由此可见， $\mu$ 的存在性等价于 (1). 再利用 [a, b] 上的非负多项式的表示定理，即可将 (1) 写成一个关于汉克尔矩阵的条件。

详见 Shohat & Tamarkin 1943 和 Krein & Nudelman 1977 。

唯一性

豪斯多夫矩问题中，可由魏尔斯特拉斯逼近定理得到 μ 的唯一性。该定理断言：[0, 1] 上的连续函数集中，在一致范数的意义下，多项式集是稠密的。至于在无穷区间上的矩问题，唯一性是一个更深入的问题。参见 Carleman 条件(1922)、Krein 条件 (1940s) 和 Akhiezer (1965).

变式

矩问题的一个重要变式是截尾矩问题，其研究具有给定前 k （不为无穷大）阶矩的测度的性质。截尾矩问题的研究成果，可以应用在极值问题、优化理论，以及概率论的极限定理上。 参见： 切比雪夫–马可夫–斯蒂尔吉斯不等式 和 Krein & Nudelman 1977.

参见

• 斯蒂尔吉斯矩问题
• Hamburger 矩问题
• 豪斯多夫矩问题
• 矩 (数学)
• Carleman 条件
• 汉克尔矩阵

参考文献

• Haviland, E. K. On the Momentum Problem for Distribution Functions in More Than One Dimension. I. American Journal of Mathematics. 1936-01, 58 (1): 164–168 [29 Nov 2018]. doi:10.2307/2371063. （原始内容存档于2021-05-07）. 
• Shohat, James Alexander; Tamarkin, Jacob D. The Problem of Moments. New York: American mathematical society. 1943. 
• Akhiezer, Naum I. The classical moment problem and some related questions in analysis. New York: Hafner Publishing Co. 1965.  (由 N. Kemmer 译自俄文)
• Krein, M. G.; Nudelman, A. A. The Markov moment problem and extremal problems. Ideas and problems of P. L. Chebyshev and A. A. Markov and their further development. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 50. American Mathematical Society, Providence, R.I. 1977.  (由 D. Louvish 译自俄文)
• Schmüdgen, Konrad. The moment problem. Springer International Publishing. 2017.