矩阵分析

矩阵分析（英语：matrix analysis）是一门研究矩阵及其代数性质的学科。这门学科研究的内容包括矩阵的运算（加法、矩阵乘法等）、矩阵函数、矩阵的特征值（特征值分解）等。

矩阵空间

数域 F 下的所有 m×n 矩阵构成向量空间 M_mn(F)。数域 F 包括有理数ℚ、实数ℝ、复数ℂ等。当 $m\neq p$ 或 $n\neq q$ 时，空间 M_mn(F) 和 M_pq(F) 不一致，例如 M₃₂(F) ≠ M₂₃(F)。

两个 m×n 的矩阵 A 和 B 在空间 M_mn(F) 相加可以得到空间 M_mn(F) 下的一个新矩阵：

\mathbf {A} ,\mathbf {B} \in M_{mn}(F)\,,\quad \mathbf {A} +\mathbf {B} \in M_{mn}(F)

与数域 F 中的数 α 相乘，也可以得到空间 M_mn(F) 下的矩阵：

\alpha \in F\,,\quad \alpha \mathbf {A} \in M_{mn}(F)

以上两条性质可以总结为：在矩阵空间 M_mn(F) 下的两个矩阵 A 和 B 线性组合可以得到空间 M_mn(F) 下的一个新矩阵：

\alpha \mathbf {A} +\beta \mathbf {B} \in M_{mn}(F)

其中 α 和 β 是数域 F 中的数。

所有矩阵都可以表示为基矩阵的线性组合，这些基矩阵起到类似于基向量的作用。例如，对于实数域下的 2×2 矩阵空间 M₂₂(ℝ)，一组可行的基矩阵可以是：

{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,

因为所有的 2×2 矩阵均可以表示为：

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,

其中 a, b, c,d 均为实数。这个思路也可以推广到高维矩阵空间下。

行列式是方阵的重要性质之一，它可以指示一个矩阵是否可逆。矩阵的行列式被用于计算特征值、求解线性方程组等方面。

一个 $n\times n$ 矩阵的特征值 $x$ 和特征向量 $\lambda$ 定义为：

$Ax=\lambda x$

也就是说，一个矩阵乘以它的特征向量相当于它的特征值乘以特征向量。一个 $n\times n$ 的矩阵有 n 个特征值，它们是矩阵特征多项式的根：

$p_{\mathbf {A} }(\lambda )=\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0$

其中 $\mathbf {I}$ 为 $n\times n$ 的单位矩阵。

如果两个 $n\times n$ 的矩阵 $A$ 和 $B$ 可以用相似变换联系起来，则两个矩阵相似：

$\mathbf {B=PAP} ^{-1}$

可逆矩阵 $\mathbf {P}$ 被称为相似变换矩阵。