积范畴

此条目介绍的是范畴之间的运算。关于范畴内物件的运算，请见“积 (范畴论)”。

数学分支范畴论中，两个范畴${\mathcal {C,D}}$之积，是集合的笛卡儿积的延申。乘积以${\mathcal {C\times D}}$表示，其结果又称积范畴（英语：product category）。定义双函子及多函子时，要用到积范畴。

定义

积范畴${\mathcal {C\times D}}$的组成部分有：

• 物件，为

  有序对$(A,B)$，其中$A$是${\mathcal {C}}$的物件，而$B$是${\mathcal {D}}$的物件；

• 态射，由物件$(A_{1},B_{1})$至物件$(A_{2},B_{2})$的态射为：

  有序对$(f,g)$，其中$f:A_{1}\to A_{2}$是${\mathcal {C}}$的态射，$g:B_{1}\to B_{2}$是${\mathcal {D}}$的态射；

• 态射间的复合运算，是逐个分量的复合：

  $(f_{2},g_{2})\circ (f_{1},g_{1})=(f_{2}\circ f_{1},g_{2}\circ g_{1});$

• 物件上的恒等态射，由各分量上的恒等态射组成：

  $1_{(A,B)}=(1_{A},1_{B}).$

与其他概念的关系

两个小范畴之积，是其作为小范畴范畴$\mathbf {Cat}$的物件的乘积。定义域为积范畴的函子，也称为双函子。重要例子有Hom函子，其定义域为某范畴${\mathcal {C}}$及其对偶范畴${\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }$之积：

$\mathrm {Hom} :{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\times {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} .$

多个范畴之积

正如二元笛卡儿积可以推广到n元笛卡儿积，范畴的二元积亦同样可以推广到$n$元积。若不别同构之异，则二元范畴积可交换及可结合，故此$n$元推广在理论上并无定义额外的新事物。

参考文献

来源

• Definition 1.6.5 in Borceux, Francis. Handbook of categorical algebra [范畴代数手册]. Encyclopedia of mathematics and its applications 50-51, 53 [i.e. 52]. Volume 1. Cambridge University Press. 1994: 22. ISBN 0-521-44178-1 （英语）. 
• nLab的Product category条目
• Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician [数学家的范畴论] Second. New York, NY: Springer New York. 1978: 49–51. ISBN 1441931236. OCLC 851741862 （英语）.