立方根

如果一个数 $x$ 的立方等于 $a$ ，那么这个数 $x$ 就是 $a$ 的立方根，其中 $a$ 称为被开方数，而 $x$ 可以是正数、0、负数或虚数。例如3的立方为27，那么这个数3就是27的一个立方根（在实数范围内）。若 $x$ 是正实数，这个乘积相当于一个边长为 $x$ 的立方体的体积。

符号编辑

在实数系中，实数 $a$ 的立方根通常用 ${\sqrt[{3}]{a}}$ 表示，可读作“ $a$ 的立方根”，“立方根 $a$ ”或“根号 $a$ 开三次方”。

值得注意的是，某个实数 $a$ 的立方根在复数系中可能有1个，或者2个，或者3个^{[查证请求]}，但在实数系中有且仅有1个。即在实数系中，实数 $a$ 的立方根唯一确定。习惯上，三次根号 ${\sqrt[{3}]{a}}$ 仅用来表示实数解。例如： ${\sqrt[{3}]{1}}$ 仅表示实数1，而不表示复数 ${\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}$ ，与 ${\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}$ 。

1的立方根编辑

即解 $x^{3}=1$ ，解法如下：

\Rightarrow x^{3}-1=0

\Rightarrow (x-1)(x^{2}+x+1)=0

（立方差）

\Rightarrow x-1=0

或

x^{2}+x+1=0

\Rightarrow x=1

或

x={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}

（公式解）

令 $\omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}$ ，则 $\omega ^{2}={\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}$ ；反之，令 $\omega ={\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}$ ，则 $\omega ^{2}={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}$ 。由以上的式子可看出 $\omega$ 的特性有：

${{{{\omega }^{2}}+{\omega }}+{1}}=0$
${{\omega }^{3}}=1$ （将 $\omega$ 代回 $x^{3}=1$ 求得）

故 $\omega$ 可代表 ${\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}$ 中的任何一数，即 $\omega$ 为1的立方虚根。

数值方法编辑

牛顿法： $x_{i+1}={\frac {1}{3}}\left({\frac {a}{x_{i}^{2}}}+2x_{i}\right)$
哈雷法（英语：Halley's method）： $x_{i+1}=x_{i}\left({\frac {x_{i}^{3}+2a}{2x_{i}^{3}+a}}\right)$

符号史编辑

1220年意大利人斐波那契第一次使用 $\operatorname {R} x$ 来表达立方根， $\operatorname {R}$ 源于拉丁文radix的首字母，意思为“根、方根”。

十七世纪初时，法国数学家笛卡儿（1596－1650）在他的著作几何学中第一次使用不连续的“√”及“￣”表示根号，其中“√”为小写r的变形。到了18世纪中叶，数学家卢贝（Loubere）将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（根指数为2时，省略不写）。从而，形成了我们现在所用的开方符号 ${\sqrt {\color {white}x}}$ 。